在推薦系統(tǒng)的相關(guān)研究中，我們常常用到兩個(gè)相關(guān)概念：矩陣分解和奇異值分解。這兩個(gè)概念是同一種算法嗎？?jī)烧叩降子惺裁床顒e？在本文中，作者梳理了兩種算法的概念、來(lái)源和內(nèi)容，并進(jìn)行了比較。通過(guò)對(duì)相關(guān)內(nèi)容的梳理，作者提出，矩陣分解是推薦系統(tǒng)中最初使用的概念，奇異值分解是對(duì)該方法的進(jìn)一步發(fā)展。在現(xiàn)在的討論中，一般將兩種方法統(tǒng)一成為奇異值分解。

在 Andrew Ng 教授的機(jī)器學(xué)習(xí)課程中，介紹推薦系統(tǒng)時(shí)經(jīng)常涉及矩陣分解、奇異值分解等數(shù)學(xué)知識(shí)，這些概念并不是很好理解。在 Andrew Ng 教授的課程提到了一種稱為稱為 (低因子) 矩陣分解的方法，而在 Google 搜索會(huì)得到另一個(gè)名稱：奇異值分解。網(wǎng)絡(luò)資源中對(duì)于該算法的解釋和 Andrew Ng 教授存在差異，但很多人都認(rèn)為這兩個(gè)名稱指的是同一種算法。為了更好的梳理這兩個(gè)概念，在本文中，我對(duì)兩者進(jìn)行了分別介紹，并對(duì)比了它們的不同。

推薦系統(tǒng)

推薦系統(tǒng) (Recommender Systems， RS) 是一種自動(dòng)化的針對(duì)用戶的內(nèi)容推薦方式，被廣泛用于電子商務(wù)公司，流媒體服務(wù) (streaming services) 和新聞網(wǎng)站等系統(tǒng)。根據(jù)用戶的喜好，推薦系統(tǒng)能夠投其所好，為用戶推薦一些合適的內(nèi)容，以便減少用戶篩選過(guò)程中一些不必要的麻煩。

推薦系統(tǒng)并不是一種全新的技術(shù)，相關(guān)概念最晚在1990年就出現(xiàn)了。事實(shí)上，當(dāng)前的機(jī)器學(xué)習(xí)熱潮，一部分要?dú)w因于人們對(duì) RS 的廣泛關(guān)注。 在2006年，Netflix 贊助了一場(chǎng)為電影尋找最佳推薦系統(tǒng)的競(jìng)賽，在當(dāng)時(shí)引起了一片轟動(dòng)，也讓推薦系統(tǒng)再次得到了廣泛的關(guān)注。

矩陣表示

我們可以有很多種方式來(lái)向別人推薦一部電影。其中一種效果較好的策略，是將用戶對(duì)電影的評(píng)分看做一個(gè)用戶 x 電影矩陣，如下所示：

在該矩陣中，問(wèn)號(hào)代表用戶未評(píng)分的電影。隨后，只需要以某種方式預(yù)測(cè)來(lái)用戶對(duì)電影評(píng)分，并向用戶推薦他們可能喜歡的電影。

矩陣分解

在 Netflix 舉辦的比賽上，參賽者 Simon Funk 提出了一個(gè)很好的想法，即用戶對(duì)電影的評(píng)分不是隨給出的。用戶會(huì)基于一定的邏輯，針對(duì)電影中他所所喜歡的部分 (如特定的女演員或類型) 和不喜歡的情節(jié) (長(zhǎng)時(shí)間或糟糕的笑話) 賦予不同的權(quán)重，并進(jìn)行加權(quán)計(jì)算，最后得到一個(gè)分?jǐn)?shù)作為該電影的評(píng)分。這個(gè)過(guò)程可以用如下公式表示：

其中 xm 是電影 m 特征值的一個(gè)列向量，而 θ? 是另一個(gè)列向量，表示用戶 u 賦予每個(gè)電影特征的權(quán)重。每個(gè)用戶都有不同的權(quán)重集合，而每個(gè)電影的特征也對(duì)應(yīng)不同的特征集合。

事實(shí)證明，如果能夠任意地修改特征的數(shù)量并忽略所缺失的那部分電影評(píng)分，那么就可以找到一組權(quán)重和特征值，依據(jù)這些值所創(chuàng)建新矩陣與原始的評(píng)分矩陣是很接近的。這一過(guò)程可以通過(guò)梯度下降來(lái)實(shí)現(xiàn)，且類似于線性回歸中所使用的梯度下降，只不過(guò)我們需要同時(shí)優(yōu)化權(quán)重和特征這兩組參數(shù)。以上文提供的用戶-電影矩陣為例，優(yōu)化后得到的結(jié)果將生成如下新的矩陣：

值得注意的是，在大多數(shù)真實(shí)數(shù)據(jù)集中，生成的結(jié)果矩陣并不會(huì)精確地與原始矩陣保持一致。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中，用戶不會(huì)對(duì)通過(guò)矩陣乘法和求和等操作對(duì)電影進(jìn)行評(píng)分。大多數(shù)情況下，用戶對(duì)電影進(jìn)行評(píng)分只是一種主觀性的行為，且可能受到各種外部因素的影響。盡管如此，這里所介紹的方法還是希望通過(guò)數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá)用戶在電影評(píng)分時(shí)的主要邏輯。

通過(guò)上面的計(jì)算，現(xiàn)在我們已經(jīng)得到了一個(gè)近似矩陣，那該如何來(lái)預(yù)測(cè)缺失的電影評(píng)級(jí)呢？通過(guò)回顧上面的計(jì)算過(guò)程，我們可以發(fā)現(xiàn)，為了構(gòu)建這個(gè)新矩陣，這里定義了一個(gè)公式來(lái)填充矩陣中的所有值，包括原始矩陣中的缺失值。因此，如果想要預(yù)測(cè)缺失的用戶電影評(píng)分，這里只需獲取該缺失電影的所有特征值，再乘以該用戶的所有權(quán)重并將所有內(nèi)容相加，就能得到用戶對(duì)該電影的評(píng)分。因此在這里，如果想要預(yù)測(cè)用戶2對(duì)電影1的評(píng)級(jí)，可以通過(guò)以下計(jì)算：

? ? ?

為了簡(jiǎn)化表達(dá)式，在這里可以對(duì) θ 和 x 進(jìn)行分離，并將它們放入各自的矩陣(比如 P 和 Q)。

以上就是 Funk 所提出的矩陣分解方法，也是 Andrew Ng 教授在課上所提到的矩陣分解。該方法在當(dāng)時(shí) Netflix 競(jìng)賽中獲得第三名，引起了廣泛的關(guān)注，并在當(dāng)前許多應(yīng)用中仍被使用。

奇異值分解

下面介紹奇異值分解 (Singular Value Decomposition, SVD)。SVD 方法是將一個(gè)矩陣分解為三個(gè)矩陣的矩陣分解方法，即 A =UΣV?，且三個(gè)分解矩陣會(huì)具有一些較好的數(shù)學(xué)特性。

SVD 方法具有廣泛的應(yīng)用，其中之一就是主成分分析（Principal Component Analysis, PCA） ，該方法能夠?qū)⒕S度 n 的數(shù)據(jù)集減少到 k 個(gè)維度 (k

這里不再展開(kāi)介紹 SVD 方法的詳細(xì)信息。我們只需要記住，奇異值分解與矩陣分解的處理方式不同。使用SVD 方法會(huì)得到三個(gè)分解矩陣，而 Funk 提出的矩陣分解方式只創(chuàng)建了兩個(gè)矩陣。

那為什么在每次搜索推薦系統(tǒng)時(shí)總會(huì)彈出 SVD 的相關(guān)內(nèi)容呢？ Luis Argerich 認(rèn)為原因在于：

事實(shí)上，矩陣分解是推薦系統(tǒng)中首先使用的方法，而 SVD++ 可視為是對(duì)它的一種擴(kuò)展形式。正如 Xavier Amatriain 所說(shuō)的那樣：

而 Wikipedia 在對(duì)矩陣分解（推薦系統(tǒng)）的相關(guān)條目中也有類似的表述：

最后，簡(jiǎn)單進(jìn)行一下總結(jié)：

奇異值分解（SVD）是一種相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)技術(shù)，它將矩陣分解為三個(gè)新的矩陣，并廣泛應(yīng)用于當(dāng)前許多的應(yīng)用中，包括主成分分析（PCA）和推薦系統(tǒng)（RS）。

Simon Funk 在2006年的 Netflix 競(jìng)賽中提出并使用了一個(gè)非常好的策略，改方法將矩陣分解為兩個(gè)權(quán)重矩陣，并使用梯度下降來(lái)找到特征和權(quán)重所對(duì)應(yīng)的的最優(yōu)值。實(shí)質(zhì)上，這是不同于 SVD 方法的另一種技術(shù)，將其稱為矩陣分解更為合適。

隨著這兩種方法的廣泛應(yīng)用，研究者并沒(méi)有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卦谛g(shù)語(yǔ)上區(qū)分這兩種方法，而是統(tǒng)一將其稱為 SVD。