控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是因輸入信號(hào)不同而不同的。因此就需要規(guī)定一些典型輸入信號(hào)。通過評(píng)價(jià)系統(tǒng)在這些典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差來衡量和比較系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。在控制工程中通常采用的典型輸入信號(hào)有以下幾種：

1．單位階躍函數(shù)：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s。

2．單位斜坡函數(shù)

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s2。

3．單位加速度函數(shù)：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s3。

4．單位脈沖函數(shù)

其拉普拉斯變換為R(s)=1。

5．正弦函數(shù)：

其中最常用的典型信號(hào)為單位階躍、單位斜坡、單位加速度三種輸入信號(hào)。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下其實(shí)際輸出值（在實(shí)際工作中常用系統(tǒng)輸出的測(cè)量值代替）與給定值之差。對(duì)穩(wěn)定的單輸入單輸出系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差是時(shí)域中衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，因此穩(wěn)態(tài)誤差分析是控制系統(tǒng)分析的一項(xiàng)基本內(nèi)容。

設(shè)有如圖3-1所示的系統(tǒng)。它的閉環(huán)傳函為

誤差信號(hào)e(t)和輸入信號(hào)r(t)之間的傳遞函數(shù)是

其中誤差e(t)是輸入信號(hào)和反饋信號(hào)之差。

?

圖3-1控制系統(tǒng)

終值定理為求穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差提供了一個(gè)簡(jiǎn)便的方法。因?yàn)镋(s)是

則穩(wěn)態(tài)誤差是

3.2.3 靜態(tài)誤差系數(shù)

當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍、單位斜坡和單位加速度三種典型信號(hào)之一時(shí)，上式分別化為：

單輸入單輸出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般表示為：

????單位階躍函數(shù)：

(3-2)

????單位斜坡函數(shù)：

(3-3)

????單位加速度函數(shù)：

(3-4)

現(xiàn)定義誤差系數(shù)如下：

????靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp:

(3-5)

????靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv：

(3-6)

????靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka：

(3-7)

將（3-5），（3-6）及（3-7）分別代入（3-2），（3-3）及（3-4）得

????單位階躍函數(shù)：

(3-8)

????單位斜坡函數(shù)：

(3-9)

????單位加速度函數(shù)：

(3-10)

下面進(jìn)一步考察誤差系數(shù)與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的關(guān)系。

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般寫成

(3-11)

的形式，式中K是系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。分母中的因子sυ表明開環(huán)傳遞函數(shù)中含有υ個(gè)積分單元。將系統(tǒng)按照υ=0，1，2分別將其分為0型，1型，2型。在表3-1中列出了按照式（3-2），（3-3）及（3-4）求得的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。

?	0型系統(tǒng)	1型系統(tǒng)	2型系統(tǒng)
（階躍輸入）r(t)=1(t)		0	0
（斜坡輸入）r(t)=t/td>	∞		0
（加速度輸入）r(t)=t2/2	∞	∞

誤差系數(shù)Kp、Kv和Ka描述了系統(tǒng)減少或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，系數(shù)值愈大，則給定穩(wěn)態(tài)誤差終值愈小。一般來說，在保持瞬態(tài)響應(yīng)在一個(gè)允許的范圍內(nèi)時(shí)，希望增加誤差系數(shù)，如果在靜態(tài)速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)之間有任何矛盾時(shí)，主要考慮前者。

務(wù)請(qǐng)注意，使用拉普拉斯變換終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差終值的條件是：sEr(s)在s平面右半部及虛軸上除了坐標(biāo)原點(diǎn)是孤立奇點(diǎn)外必需解析，亦即sEr(s)的全部極點(diǎn)除坐標(biāo)原點(diǎn)外應(yīng)全部分布在s平面的左半部。例如給定輸入為正弦函數(shù)時(shí)

其象函數(shù)

在s平面的全部虛軸上不解析，就不能使用終值定理去求取系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值。

3.2.4 動(dòng)態(tài)誤差

靜態(tài)誤差系數(shù)的一個(gè)明顯特點(diǎn)，是對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)只有一個(gè)系數(shù)呈現(xiàn)有限值，其它的系數(shù)不是零就是無窮大。因而，通過靜態(tài)誤差系數(shù)求得的靜態(tài)誤差或是零，或是有限的非零值，或是無窮大。所以，誤差隨時(shí)間的變化規(guī)律不能運(yùn)用這種系數(shù)求出。但有些時(shí)候人們關(guān)心的往往是誤差隨時(shí)間變化的情況，這種誤差表現(xiàn)了誤差隨時(shí)間變化的規(guī)律，稱之為動(dòng)態(tài)誤差。本節(jié)介紹的動(dòng)態(tài)誤差將提供一些關(guān)于誤差怎樣隨時(shí)間變化的信息，即，系統(tǒng)在給定的輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差是否會(huì)與t，t2等成比例地增加。

動(dòng)態(tài)誤差不同但穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)相同的系統(tǒng) 首先論證兩個(gè)具有不同動(dòng)態(tài)誤差的系統(tǒng)卻能夠有相同的靜態(tài)誤差系數(shù)。設(shè)以下的兩個(gè)系統(tǒng)：

其靜態(tài)誤差系數(shù)由下列各式給出:
????Kp1=∞， Kp2=∞
????Kv1=10， Kv2=10
????Ka1=0， Ka2=0

于是，對(duì)于同樣的階躍輸入，兩個(gè)系統(tǒng)有相同的穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)然，對(duì)于斜坡和拋物線輸入的穩(wěn)態(tài)誤差，該結(jié)論也同樣適用。這個(gè)分析表明，不能根據(jù)靜態(tài)誤差系數(shù)去估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差。

動(dòng)態(tài)誤差系數(shù) 現(xiàn)在引進(jìn)動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)來描述動(dòng)態(tài)誤差。通過用E(s)/R(s)的分母多項(xiàng)式除它的分子多項(xiàng)式的方法，把E(s)/R(s)展開成下列s的升冪級(jí)數(shù)：

冪級(jí)數(shù)的系數(shù)K1、K2、K3、…被定義為動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。對(duì)N型系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)由下式給出：

其中
????K1=動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)；
????K2=動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)；
????K3=動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)。

需要說明的是，在一個(gè)給定系統(tǒng)中，動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)是與靜態(tài)誤差系數(shù)有關(guān)的。例如：設(shè)下列具有單位反饋的0型系統(tǒng)：

其靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)分別是

其中
????Kp=K
????Kv=0
????Ka=0

由于E(s)/R(s)可展開成

所以，依據(jù)靜態(tài)誤差系數(shù)給出的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)如下：
????k1=1+K=1+Kp

動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)由下式給出：

當(dāng)E(s)寫成下面的形式時(shí)：
????E(s)= R(s)+ sR(s)+ s2R(s)+…

動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的優(yōu)點(diǎn)就更為清楚。這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂域是s=0的鄰域，這相當(dāng)于在時(shí)域內(nèi)的t=∞。假定所有的初始條件為零，并且忽略掉在t=0的鄰域，這相當(dāng)于在時(shí)域內(nèi)的t=∞。假定所有的初始條件為零，并且忽略掉在t=0時(shí)的脈沖，則對(duì)應(yīng)的時(shí)間解（即穩(wěn)態(tài)誤差）由下式求出：

這樣，由輸入函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)所引起的穩(wěn)態(tài)誤差能根據(jù)動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)求出，這便是動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。

如果E(s)/R(s)圍繞原點(diǎn)展開成一個(gè)冪級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)系數(shù)就表示系統(tǒng)在緩慢變化的輸入作用下的動(dòng)態(tài)誤差。動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)是計(jì)算任意輸入作用下的誤差信號(hào)和穩(wěn)態(tài)誤差的簡(jiǎn)便方法。用這個(gè)方法就不需要實(shí)際去解系統(tǒng)的微分方程。

例3-9

設(shè)前向傳遞函數(shù)為G(s)= 的單位反饋控制系統(tǒng)，求出它的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。還要求出當(dāng)輸入量為r(t)=a0+a1t+a2t2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。

對(duì)于該系統(tǒng) = =0.1s+0.09s2-0.019s3+…

即 =0.1 (t)+0.09 (t)-0.019 (t)+…

則動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)是 k1=∞

k2=1/0.1=10

k3=1/0.09=11.1

由于r(t)由下式給出：r(t)=a0+a1t+a2t²

得(t)=a1+a2t，(t)=2a2，(t)=0

于是，穩(wěn)態(tài)誤差為

= [0.1(a1+a2t)+0.09(2a2)]= (0.1a1+0.18a2+0.2a2t)

只要不是a2=0，穩(wěn)態(tài)誤差就變?yōu)闊o窮大。

由以上分析可知，如果E(s)/R(s)圍繞原點(diǎn)展開成一個(gè)冪級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)系數(shù)就表示系統(tǒng)在緩慢變化的輸入作用下的動(dòng)態(tài)誤差。動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)是計(jì)算任意輸入作用下的誤差信號(hào)和穩(wěn)態(tài)誤差的簡(jiǎn)便方法。用這個(gè)方法就不需要實(shí)際去解系統(tǒng)的微分方程。