控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法--高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

當(dāng)系統(tǒng)高于二階時(shí)，將其稱為高階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)一般可以寫成如下形式

將上式進(jìn)行因式分解，可寫成

式中 si：傳遞函數(shù)極點(diǎn)，i=1、2、…、n；
?????zj：傳遞函數(shù)極點(diǎn)，j=1、2、…、m。

假定系統(tǒng)所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同，并假定極點(diǎn)中有實(shí)數(shù)極點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn)，而零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)零點(diǎn)。當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，其階躍響應(yīng)的象函數(shù)為

?????????

????????????=??+??+?

式中 m：傳遞函數(shù)零點(diǎn)總數(shù)；
?????n：傳遞函數(shù)極點(diǎn)總數(shù)，n=q+2r；
?????q：實(shí)極點(diǎn)數(shù)；
?????r：共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的對(duì)數(shù)。

對(duì)上式求取原函數(shù)，即得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

Dk =?

θk=?

sk=-?

由此可見，高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是一階和二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)分量的合成。可以得到如下結(jié)論：

1.高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)si及 決定。假設(shè)系統(tǒng)的一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)與虛軸間距離為 ，另一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)與虛軸間距離是其5倍，即5 ，如按式（3-15）估算，后者對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減時(shí)間大約為前者的1/5，由此可知，系統(tǒng)的極點(diǎn)在s平面左半部距虛軸愈遠(yuǎn)，相應(yīng)的暫態(tài)分量衰減得愈快。

2. 高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)Ai和Dk不僅與s平面中極點(diǎn)的位置有關(guān)，并且與零點(diǎn)的位置也有關(guān)。當(dāng)某極點(diǎn)si愈靠近某一零點(diǎn)zj而遠(yuǎn)離其他極點(diǎn)，同時(shí)與s平面的原點(diǎn)相距也很遠(yuǎn)，則相應(yīng)分量的系數(shù)Ai越小，該暫態(tài)分量的影響就小。若一對(duì)零、極點(diǎn)互相接近，則該極點(diǎn)對(duì)暫態(tài)響應(yīng)幾乎沒有影響。極端情況，若一對(duì)零、極點(diǎn)重合（偶極子），則該極點(diǎn)對(duì)暫態(tài)響應(yīng)無任何影響。若某極點(diǎn)si遠(yuǎn)離零點(diǎn)，但距S平面原點(diǎn)較近，則相應(yīng)的該分量的系數(shù)Ai就比較大，于是，該分量對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響就較大。因此，對(duì)于系數(shù)很小的分量以及遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的衰減很快的暫態(tài)分量常可忽略，于是高階系統(tǒng)的響應(yīng)就可以用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似。

3. 如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部比其他極點(diǎn)的實(shí)部的1/5還要小，并且該極點(diǎn)附近沒有零點(diǎn)，則可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定。這些對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)。高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。如能找到一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，則高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來分析，相應(yīng)地其暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)都可以按二階系統(tǒng)來近似估計(jì)。

在設(shè)計(jì)一個(gè)高階系統(tǒng)的時(shí)候，常利用主導(dǎo)極點(diǎn)這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以近似地用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)。詳見后面有關(guān)系統(tǒng)設(shè)計(jì)章節(jié)的內(nèi)容。