由于頻率特性 是一個復數(shù)，因而可在復平面上用直角坐標形式表示：

同樣也可用極坐標形式寫成：

式中， 。這樣， 可用幅值為 、相角為 的向量來表示。當輸入信號的頻率ω由 變化時，向量 的幅值和相位也隨之作相應的變化，其端點在復平面上移動而形成的軌跡曲線，稱為極坐標圖，又稱為 的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲線，簡稱奈氏圖。

5.2.1 典型環(huán)節(jié)的奈氏曲線

為了便于對頻率特性作圖，本章中的開環(huán)傳遞函數(shù)均以時間常數(shù)形式表示。具有這種形式的開環(huán)頻率特性 一般由下列五種典型環(huán)節(jié)組成。

1）比例環(huán)節(jié)K；

2）一階環(huán)節(jié) ；

3）積分和微分環(huán)節(jié) ；

4）二階環(huán)節(jié) ；

5）延遲環(huán)節(jié) 。

1．比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)的頻率特性為

(5-23)

由于K是一個與ω無關的常數(shù)，它的相角為零度，因而它的奈氏圖為 復平面實軸上的一個定點，如圖5－5所示。

2．積分和微分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的頻率特性為

(5-24)

由上式可見，積分環(huán)節(jié)的幅值與ω成反比，相角恒為 ，其奈氏圖如圖5－6a所示。顯然積分環(huán)節(jié)是一個相位滯后環(huán)節(jié)，每當信號經(jīng)過一個積分環(huán)節(jié)后，其相位滯后 。

對于微分環(huán)節(jié)，其頻率特性為

(5-25)

它的奈氏圖應如圖5－6b所示。由圖可見，微分環(huán)節(jié)是一個相位超前環(huán)節(jié)，每當系統(tǒng)增加一個微分環(huán)節(jié)，將使相位增加 。

比較積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)可以發(fā)現(xiàn)，它們的幅值特性和相位特性均剛剛相反。

3．一階慣性環(huán)節(jié)

一階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為

(5-26)

式中，

若將上式寫成實頻特性和虛頻特性的形式：

式中

,

于是得

也即

顯然上式是一個圓的方程，其圓心為 ，半徑為 ，如圖5－7a所示。可見，一階慣性環(huán)節(jié)是一個相位滯后環(huán)節(jié)，其最大滯后角為 ，此時頻率為無窮大。

一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為

(5-27)

式中　 。當 時，其幅值從 ，相角 ，因此它是一個相位超前環(huán)節(jié)。圖5－7b為它的奈氏圖。

4．二階振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)

根據(jù)第三章內(nèi)容，典型二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性可寫為

(5-28)

式中

(5-29)

由式（5－28）可知，振蕩環(huán)節(jié)奈氏圖的低頻段和高頻段分別為

當 時， ，其相角為 。

當ξ值已知，則由式（5－28）可求得對應于不同ω值時的 和 值。圖5－8為式（5－28）在不同ξ值下用Matlab繪制的奈氏曲線。當 時，在奈氏曲線上距原點最遠的點所對應的頻率就是振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率 ，其諧振峰值 用 與 之比來表示。

由第三章的討論可知，當 時，振蕩環(huán)節(jié)不產(chǎn)生諧振， 向量的長度將隨著ω的增加而單調地減小。當 時， 有兩個相異的實數(shù)極點。如果ξ值足夠大，則其中一個極點靠近s平面的坐標原點，另一個極點遠離虛軸。顯然，遠離虛軸的這個極點對瞬態(tài)響應的影響很小，此時式（5－28）的特性與一階慣性環(huán)節(jié)相類同，它的奈氏圖近似于一個半圓。

二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為

(5-30)

式中

圖5－9為二階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖。

5．時滯環(huán)節(jié)

時滯環(huán)節(jié)的頻率特性為

(5-31)

由于時滯環(huán)節(jié)的幅頻值恒為1，而其相位與ω成比例變化，因而它的奈氏圖是一個單位圓，如圖5－10所示。在低頻區(qū)，時滯環(huán)節(jié) 和慣性環(huán)節(jié) 的頻率特性很接近，如圖5－11所示。因為

當 時，上式可近似為

(5-32)

因此當 時，時滯環(huán)節(jié)通常近似地可用慣性環(huán)節(jié)表示。

5.2.2 開環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖

在采用頻率特性法對控制系統(tǒng)進行分析時，一般采用兩種方法：一種是直接采用開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，另外一種是根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線繪制閉環(huán)頻率特性，然后用閉環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。但不論采用哪一種方法，在用極坐標圖進行分析時，首先應作出極坐標形式的開環(huán)幅值特性和開環(huán)相位特性曲線。

對于如圖5－12的閉環(huán)控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，把開環(huán)頻率特性寫作如下的極坐標形式或直角坐標形式：

(5-33)

當ω由 變化時，逐點計算相應的 和 的值，可畫出開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖。在控制工程中，一般只需畫出奈氏曲線的大致形狀和幾個關鍵點的位置，如與實軸相交點、與慮軸相交點及曲線的旋轉方向等，即可對控制系統(tǒng)進行分析。

例5－2　試繪制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線：

試繪制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線：

解：該開環(huán)系統(tǒng)由三個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成：一個比例環(huán)節(jié) 、兩個一階慣性環(huán)節(jié) 和 。這三個環(huán)節(jié)的幅、相頻率特性分別為：

因而開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性：

相頻特性：

取不同的頻率 值，可得到對應的幅值和相角，根據(jù)這些值可繪制出開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如圖5－13。

圖5－13 開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖

事實上，在Matlab中，有專門的函數(shù)用于繪制開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖：Nyquist。關于該命令的詳細說明，可見第九章說明。對于本題，可用如下命令：

g=tf(10,conv([1,1],[0.1,1]))

Transfer function:

10

-------------------

0.1 s^2 + 1.1 s + 1

nyquist(g)

在實際的控制系統(tǒng)中，開環(huán)傳遞函數(shù)常常由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，因此通過對典型系統(tǒng)的奈氏圖的繪制將有助于用奈氏圖分析和設計控制系統(tǒng)。下面通過對不同類型系統(tǒng)的奈氏圖在 和 時特征的分析，簡要研究控制系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能。

1．0型系統(tǒng)

設0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

(5-34)

當 時， 、 ，即為實軸上的一點（K，0），它是0型系統(tǒng)奈氏圖的始點。當 時， 、 。當 時，奈氏曲線的具體形狀由開環(huán)傳遞函數(shù)所含的具體環(huán)節(jié)和參數(shù)所確定。

2．I型系統(tǒng)

設I型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

(5-35)

由上式不難看出，當 時， ；當 時， 。

圖5-14a 0型、1型和II型系統(tǒng)的奈氏圖 圖5-14b 開環(huán)系統(tǒng)高頻段的奈氏圖 ?

3、Ⅱ型系統(tǒng)

設Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

(5-36)

由式（5－36）可知，當 時， ；當 時， 。

綜上所述，開環(huán)系統(tǒng)極坐標圖的低頻部分是由因式 確定的。對于0型系統(tǒng)， ；而對于I型和I型以上的 型系統(tǒng)，

。如果 ，當 時， ， 曲線以順時針方向按 的角度趨向于坐標原點，如果(n-m)是偶數(shù)，則曲線與橫軸相切；反之，若是奇數(shù)，則曲線與虛軸相切。圖5－14a為0型、I型和Ⅱ型系統(tǒng)的奈氏圖。圖5－14b為高頻段的奈氏圖。

例５－３　已知０型系統(tǒng)、Ｉ型系統(tǒng)和II型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為....

已知０型系統(tǒng)、Ｉ型系統(tǒng)和II型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為

試繪制它們對應的奈氏圖。

解　　（1）０型系統(tǒng)的頻率特性為

式中，

,

分別取 ，由上述兩式，計算不同ω值時的 和 。據(jù)此，可得到圖5－15所示的奈氏圖。根據(jù)第三章勞斯判據(jù)可知，當 ，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，表現(xiàn)在奈氏圖上是極坐標圖不包圍（－1，j0），這與后面將介紹的奈氏穩(wěn)定判據(jù)是一致的。

（2）I型系統(tǒng)的頻率特性為

其中

,

把上式改寫為

上式中，當 時， ，即 ；當 時， 。據(jù)此畫出圖5－16所示的奈氏圖。

（3）該Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

據(jù)此畫出圖5－17所示的奈氏圖。

由于采用了Matlab，對于I、II型系統(tǒng)，在無窮遠處的極坐標無法在圖中標明，但從圖中同樣可以看到，當頻率接近零時，極坐標曲線漸近于平行于虛軸的－10，這一點可將幅值頻率特性寫成實頻、虛頻形式得到驗證。