歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)域，建立和三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”形式簡(jiǎn)單，結(jié)果驚人，歐拉本人都把這個(gè)公式刻在皇家科學(xué)院的大門上，看來必須好好推敲一番。

　　歐拉公式怎么寫

　　歐拉公式有4條，我們一一的來了解一下：

　　（1）分式：

　　a＾r(nóng)/（a-b）（a-c）+b＾r(nóng)/（b-c）（b-a）+c＾r(nóng)/（c-a）（c-b）

　　當(dāng)r=0，1時(shí)式子的值為0

　　當(dāng)r=2時(shí)值為1

　　當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c

　　（2）復(fù)數(shù)

　　由e＾iθ=cosθ+isinθ，得到：

　　sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

　　cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

　　此函數(shù)將兩種截然不同的函數(shù)---指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”。

　　當(dāng)θ=π時(shí)，成為e＾iπ+1=0 它把數(shù)學(xué)中最重要的e、i、π、1、0聯(lián)系起來了。

　　（3）三角形

　　設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：

　　d＾2=R＾2-2Rr

　　（4）多面體

　　設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則

　　v-e+f=2-2p

　　p為虧格，2-2p為歐拉示性數(shù)，例如

　　p=0 的多面體叫第零類多面體

　　p=1 的多面體叫第一類多面體

　　歐拉公式的意義

　　工程師一觀點(diǎn)：

　　歐拉公式并沒有把實(shí)數(shù)信號(hào)變?yōu)閺?fù)數(shù)。首先想想歐拉公式是怎么推導(dǎo)出來的。歐拉發(fā)現(xiàn)的冪級(jí)數(shù)展開剛好是cos（x）和isin（x）的和，所以就有了

　　接著來看傅立葉級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)是把滿足狄利克雷條件的周期函數(shù)表示為一系列具有不同頻率的正弦與余弦函數(shù)的和。這些頻率不同的三角函數(shù)是正交的，所以傅立葉級(jí)數(shù)就如同歐幾里德空間里對(duì)向量進(jìn)行正交分解一樣，把空間里的平方可積函數(shù)分解到一組正交基上。

　　傅立葉級(jí)數(shù)可以表示成三角函數(shù)的和，也能表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的和，原因就是有歐拉公式在二者之間作為橋梁。兩種表示方法都是可行的，只是人們發(fā)現(xiàn)復(fù)指數(shù)函數(shù)的表達(dá)方式在計(jì)算上更為便捷。

　　實(shí)信號(hào)的傅立葉系數(shù)，在下標(biāo)互為相反數(shù)的系數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，所以它們的和依然是實(shí)數(shù)。也就是說，實(shí)信號(hào)變換以后仍然是實(shí)數(shù)。

　　至于你最想知道的，這么做的意義是什么，在剛開始學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)候，是很難理解的。我當(dāng)時(shí)也一直想知道，各種變換的意義是什么。比如我思考了很久卷積的意義是什么，后來才發(fā)現(xiàn)，卷積這種運(yùn)算沒有比較明顯的直觀含義。后來用多了用熟練了就明白它的作用了。信號(hào)學(xué)到后面，再學(xué)實(shí)變函數(shù)和泛函分析之類的，就不能去多想意義是什么，那些抽象的東西，真的沒有什么直觀的意義。

　　工程師二觀點(diǎn)：

　　信號(hào)變換的核心是傅立葉級(jí)數(shù)，用一組正交基sin/cos函數(shù)（信號(hào)）合成表示原信號(hào)。分解得到的一系列sin/cos函數(shù)（信號(hào)）經(jīng)過歐拉公式變換為復(fù)數(shù)形式，一個(gè)復(fù)數(shù)就能同時(shí)表示分解的信號(hào)的分量的相位和幅度，其中相位表示cos/sin起振的角度，幅度是信號(hào)強(qiáng)度。

　　簡(jiǎn)而言之，就是傅氏級(jí)數(shù)就是信號(hào)分解，將復(fù)雜信號(hào)分解簡(jiǎn)單的正交余弦信號(hào)，傅立葉變換得到各個(gè)信號(hào)分量的幅度與起振角度，引入歐拉公式變成復(fù)數(shù)是為了表示方便，后面對(duì)信號(hào)做運(yùn)算也簡(jiǎn)單了很多，比如時(shí)域卷積經(jīng)過傅立葉變換到頻域就是相乘（逆變換回去也就是卷積的結(jié)果）（為何可以這樣？參考傅立葉分析教材的嚴(yán)格證明），具體操作時(shí)候還要考慮一些細(xì)節(jié)比如周期信號(hào)、非周期信號(hào)、收斂不收斂，時(shí)間頻率是否有限長(zhǎng)等等。