歐拉定理

　　在數學及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數、公式和定理。在數論中，歐拉定理（Euler Theorem，也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數定理）是一個關于同余的性質。歐拉定理得名于瑞士數學家萊昂哈德·歐拉，該定理被認為是數學世界中最美妙的定理之一。歐拉定理實際上是費馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的歐拉定理、多面體歐拉定理（在一凸多面體中，頂點數-棱邊數+面數=2）。西方經濟學中歐拉定理又稱為產量分配凈盡定理，指在完全競爭的條件下，假設長期中規模收益不變，則全部產品正好足夠分配給各個要素。另有歐拉公式。

　　1、初等數論中的歐拉定理：　　對于互質的整數a和n，有a^φ（n） ≡ 1 （mod n）

　　證明：

　　首先證明下面這個命題：

　　對于集合Zn={x1，x2，。。。，xφ（n）}，其中xi（i=1，2，…φ（n））是不大于n且與n互素的數，即n的一個化簡剩余系，或稱簡系，或稱縮系），考慮集合S = {a*x1（mod n），a*x2（mod n），。。。，a*xφ（n）（mod n）}

　　則S = Zn

　　1） 由于a，n互質，xi也與n互質，則a*xi也一定于p互質，因此任意xi，a*xi（mod n） 必然是Zn的一個元素

　　2） 對于Zn中兩個元素xi和xj，如果xi ≠ xj則a*xi（mod n） ≠ a*xi（mod n），這個由a、p互質和消去律可以得出。所以，很明顯，S=Zn既然這樣，那么

　　（a*x1 × a*x2×。。。×a*xφ（n））（mod n）

　　= （a*x1（mod n） × a*x2（mod n） × 。。。 × a*xφ（n）（mod n））（mod n）

　　= （x1 × x2 × 。。。 × xφ（n））（mod n）

　　考慮上面等式左邊和右邊

　　左邊等于（a*（x1 × x2 × 。。。 × xφ（n））） （mod n）

　　右邊等于x1 × x2 × 。。。 × xφ（n））（mod n）

　　而x1 × x2 × 。。。 × xφ（n）（mod n）和n互質

　　根據消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：a^φ（n） ≡ 1 （mod n）

　　推論：對于互質的數a、n，滿足a^（φ（n）+1） ≡ a （mod n）

　　費馬定理：

　　a是不能被質數p整除的正整數，則有a^（p-1） ≡ 1 （mod p）

　　證明這個定理非常簡單，由于φ（p） = p-1，代入歐拉定理即可證明。

　　同樣有推論：對于不能被質數p整除的正整數a，有a^p ≡ a （mod p） 2、平面幾何里的歐拉定理：（1） （Euler定理）設三角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則d2=R2-2Rr．

　　證明：如右下圖，O、I分別為⊿ABC的外心與內心．

　　連AI并延長交⊙O于點D，由AI平分DBAC，故D為弧BC的中點．

　　連DO并延長交⊙O于E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑．

　　由圓冪定理知，R2-d2=（R+d）（R-d）=IA·ID．（作直線OI與⊙O交于兩點，即可用證明）

　　但DB=DI（可連BI，證明DDBI=DDIB得），故只需證2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

　　而這個比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得．故得R2-d2=2Rr，即證．

　　（2）四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD的中點分別為M、N，則：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2.

　　證明：如右上圖，連接BD、BM，由中線公式有AB^2+BC^2=2（BM^2+AM^2）.DA^2+CD^2=2（DM^2+AM^2，又BM^2+DM^2=2（BN^2+MN^2），4AM^2=AC^2， 4BN^2=BD^2，故AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2（BM^2+DM^2）

　　+4AM^2=4BN^2+4MN^2+4AM^2=AC^2+BD^2+4MN^2

　　注：當A、B、C、D為空間四點時，結論依然成立，且有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≥ AC^2+BD^2，此結論為第四屆美國數學奧林匹克試題

　　［編輯本段］歐拉公式　　簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系

　　V+F-E=2

　　這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。

　　歐拉定理的意義

　　（1）數學規律：公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間特有的規律

　　（2）思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。

　　（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，面數，棱數等不變。

　　定理引導我們進入一個新幾何學領域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。

　　（4）提出多面體分類方法： 在歐拉公式中， f （p）=V+F-E 叫做歐拉示性數。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f （p）=2。 除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面，而能變為一個環面。其歐拉示性數f （p）=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的歐拉示性數為0。

　　（5）利用歐拉定理可解決一些實際問題如：為什么正多面體只有5種？ 足球與C60的關系？否有棱數為7的正多面體？等。