諧波分析法 harmonic analysis method

任何復雜的波都可以由許多不同頻率、振幅和位相的正弦分量組合成，諧波分析是將其分解。諧波分析可用以確定非線性畸變。一般非正弦波的高次諧波振幅較小，在測量中只要分析測量二次諧波和三次諧波與基波振幅的比較即可，對于更高次諧波可以不考慮

常有的諧波分析工具有哪些？

一般諧波分析最常用的是電能質量分析儀，可分析總諧波畸變率、諧波直流分量、諧波、間諧波、高次諧波、諧波子組。在諧波的測試項目方面都非常全面，而且諧波可以通過柱狀圖顯示各次諧波的含量，也可以通過表格圖查看有效值、相位角、含量。基本能滿足諧波分析的所有需求。

市面上較為推薦的是致遠電子的E6000電能質量分析儀，不僅僅在總端機器諧波分析非常全面。諧波：1~50次、0~49間諧波、1~35高次諧波、1~50次諧波子組、電流K系數。等等。而且配置的分析軟件功能非常強大，能夠直接產生統計報表及數據報表，給測量的后期工作省了不少功夫。

隨著用電設備的多樣化和復雜化，線路中諧波的成分也變得越來越豐富，諧波污染的治理問題也變得越來越棘手，許多儀器也相應推出了諧波測量功能，我們該如何區分這些諧波的測量方法并正確地使用他們進行諧波測量呢？

諧波分析的分析方法

滿足一定條件（Dirichlet條件）的、以T為周期的時間的周期函數f（t），在連續點處，可用下述的三角函數的線性組合（傅里葉級數）來表示：上式稱為f（t）的傅里葉級數，其中，ω=2π/T。n為整數，n》=0。n為整數，n》=1。在間斷點處，下式成立：a0/2為信號f（t）的直流分量。

令c1為基波幅值，cn為n次諧波的幅值。c1有時也稱1次諧波的幅值。a0/2有時也稱0次諧波的幅值。非正弦波里含有大量的諧波，不同的波形里含有不同的諧波成份。在倍頻器、變頻器里，就必須要進行諧波分析，分柝各次諧波的分布；在樂器、音響、放大器……也要分析諧波成份。

（1）奇次諧波，指頻率為基波頻率的3、5、7……倍的諧波；

（2）偶次諧波，指頻率是基波頻率的2、4、6……倍的諧波。對f（t）=-f（t+T/2）　的函數（T為函數周期），偶次諧波及直流分量為0；對f（t）=f（t+T/2）　的函數（T為函數周期）， 奇次諧波為0。

諧波分析方法對比

在很多人認識里，只有使用同步采樣才能進行精確的諧波分析，其實采用非同步采樣同樣能進行諧波分析，而且在許多情況下甚至比同步采樣法更優秀。PA功率分析儀提供了常規諧波、諧波和IEC諧波三種諧波測量模式，支持同步和非同步的諧波分析，將兩種分析方式互補使用可提高諧波的分析能力。下面通過其計算方法的簡單，結合實例討論三種諧波模式的使用。

諧波測量基本原理

目前最常用的諧波分析方法是使用傅里葉變換，將時域的離散信號進行傅里葉級數展開，得到離散的頻譜，從離散的頻譜中挑選出各次諧波對應的譜線，計算得出諧波各項參數。

在實際實現時，由于離散傅里葉變換存在“柵欄效應”，采樣頻率不為基波的整數倍時，部分諧波可能不在離散傅里葉變換后的離散頻率點上，需要使用特殊的手段將柵欄空隙對準我們關心的諧波頻率點。其中同步采樣法和頻率重心法使用最為廣泛。

同步采樣法

顧名思義，就是使采樣頻率與基波頻率同步改變。該方法從源頭上保證數據的采樣頻率為基波頻率的整數倍，如IEC 61000-4-7標準就規定50Hz使用10倍基波采樣率，采樣數據經離散傅里葉變換即可得到各次諧波分量。同步采樣常用硬件PLL實現，需要實時調整采樣頻率，頻率的鎖定需要時間，受限于濾波器及相關器件，很難做到很寬的頻域，也很難保證頻譜特別豐富時的準確性。

頻率重心法

使用足夠高的采樣頻率（一般大于4倍基波頻率）即可滿足直接對信號進行采樣，將信號的頻譜間隔拉開，并且使用更多周期的數據點做離散傅里葉變換，降低頻譜泄露的影響。最后根據窗函數的功率譜分布特性，通過頻譜的譜峰和次譜峰，找到真正的譜峰頻點——即離散頻譜的譜峰和次譜峰的重心。通過頻率重心法消除了柵欄效應的影響，對各次諧波使用重心法，還得到一個偏離系數，使用該系數配合窗函數功率譜，可求解得到對應頻點的相位和幅值等信息。至此，非同步采樣法同樣得到了各次諧波。受限于窗函數的頻譜特性，該法需要用足夠高采樣率來保證各頻率成分的頻譜互相影響足夠小；而且截斷造成的泄漏也不能太大，否則產生的假頻率疊加到真實頻譜里，導致結果誤差更大。

簡單對比

基于以上實現原理可知，同步采樣法精度取決于PLL的準確度，而后期計算簡單。PLL中用到的濾波器限制了支持的基波頻率上限，因此在基波頻率較高時，同步采樣法一般無法支持；同樣是濾波器原因，無法很好濾除低偶次諧波，所以低偶次諧波幅值較大時，PLL就無法同步基波采樣，諧波分析結果也就完全錯誤。

頻率重心法不需要額外濾波器，采樣器件可工作在支持的最高采樣頻率，使有效譜線拉開的同時提高了支持的諧波頻率范圍，而為了消除泄漏的影響，需要使用更多的數據進行傅里葉變換。所以頻率重心法引入了數倍于同步采樣法的計算量。另外，重心法需要使用至少兩根譜線，而且受窗函數主瓣寬度限制，頻率重心法所能支持的頻率下限只能達到頻率分辨率的三倍以上。由于頻率重心法沒有反饋過程，不依賴于信號，模擬電路實現簡單，理論上只要采樣率和使用的數據點足夠，就能得到正確的結果。

特別地，因為同步采樣需要硬件電路，受限與成本與體積，大部分測量儀器只支持一到兩個PLL源，而頻率重心法無此限制，甚至可任意定義基波源（對應于PLL源，用于確定基波）。

應用實例

PA功率分析儀提供了三種諧波模式：常規諧波、諧波和IEC諧波。其中常規諧波對應頻率重心法、諧波和IEC諧波對應同步采樣法。諧波和IEC諧波區別在于IEC諧波完全按照IEC 61000-4-7標準規定的倍頻數FFT點數進行計算，并增加了標準規定的處理流程和計算參數。下面使用實例信號對比兩種方法的區別：

信號一：基波頻率50Hz，含2~15次諧波，各次含量均為10%

圖 1 50Hz基波2~15次含量10% 諧波波形

圖 2 50Hz基波2~15次含量10% 諧波常規諧波分析結果

圖 3 50Hz基波2~15次含量10% 諧波的諧波模式分析結果

如圖 1所示包含諧波的50Hz信號波形，常規諧波和諧波模式諧波均能得到正確的諧波含量，并且精度很高。

信號二：基波頻率50Hz，含2~15的奇次諧波，各次含量同樣均為10%

圖 4 50Hz基波2~15奇次含量10% 諧波波形

圖 5 50Hz基波2~15奇次含量10% 常規諧波分析結果

圖 6 50Hz基波2~15奇次含量10% 諧波模式分析結果

如圖 4所示只包含2~15次的奇次諧波的波形，常規諧波和諧波模式結果同樣精確。

信號三：基波頻率50，含2~15偶次諧波，各次含量均為10%

圖 7 50Hz基波2~15偶次含量10% 諧波波形

圖 8 50Hz基波2~15偶次含量10% 常規諧波分析結果

圖 9 50Hz基波2~15偶次含量10% 諧波模式分析結果

如圖 7所示只包含50Hz基波的2~15次的偶次諧波的波形，受偶次諧波的影響，每個基波周期多了兩次過零，而且頻率與基波相近，PLL的濾波器亦無法濾除該諧波，因此PLL結果錯誤，導致諧波分析結果也完全錯誤，此時的常規諧波分析結果仍然正確，而且保持了很高的精度。說明常規諧波可以不受偶次諧波影響，在采樣率和FFT點數足夠時，具有受被測信號影響低的優勢。

信號四：基波頻率6kHz，含2~15次諧波，各次含量均為10%

圖 10 6kHz基波2~15次含量10% 諧波波形

圖 11 6kHz基波2~15次含量10% 常規諧波分析結果

圖 12 6kHz基波2~15次含量10% 諧波模式分析結果

如圖 10 所示包含6kHz基波的2~15次諧波的波形，由于已經超出諧波模式支持的頻率范圍，諧波模式無法測量，而常規諧波分析時使用了200kHz的采樣率，6kHz的15次諧波頻率為90kHz，小于采樣頻率的一半，因此仍然可以精確測量。

總結

由上實例看出，非同步采樣拓寬了諧波的分析范圍，在許多同步采樣受到約束的場合可以實現互補，是一種強有力的諧波分析方法。

需要指出的是，雖然以上用例中常規諧波分析結果都正確且精度很高，但在諧波模式PLL正確時，諧波模式在高次諧波的穩定性和精度會比常規諧波高，因為常規諧波在高次諧波的頻率上有累積誤差，且頻譜兩端會受負頻率的影響。特別需要注意常規諧波一個致命缺點是頻率下限較高（PA5000功率分析儀的常規諧波支持基波的頻率下限是15Hz），而且需要保證更新周期內有足夠的采用點。