基于雜波協(xié)方差矩陣特征向量分析STAP降維方法

本文在對雜波協(xié)方差矩陣的特征值、陣特征向量做出分析的基礎(chǔ)上，討論了無信噪比損失的降維的充要條件，并給出了一種滿足該條件的降維變換陣的構(gòu)造方法.最后基于一組Mountaintop數(shù)據(jù)對文中提出的算法作出了驗(yàn)證.
　　關(guān)鍵詞:機(jī)載雷達(dá)；時空二維自適應(yīng)信號處理；雜波抑制

Rank-Reduced STAP Based on Eigen-Decomposition of the Covariance Matrix

LUO Yi,LIU Guo-sui,SU Wei-min
(Institute of Photo and Electronics,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

　　Abstract:The selection of the transform matrix has an effect on the output signal to interference plus noise ratio.It can achieve its upper bound when transform matrix is selected in a special form.So,a new kind of rank-reduced STAP is proposed.When covariance matrix is known,it is the same as the full dimension optimal STAP.When covariance matrix is unknown,it also has a good appearance.
　　Key words:AEW radar;STAP;interference suppression

一、引　　言
　　七十年代初Reed、Mallett和Brennan提出了時空二維自適應(yīng)信號處理中的樣本協(xié)方差矩陣求逆算法(SMI)［1］，并對該方法的性能做了理論分析.受實(shí)際條件限制，上述算法不可能直接用于相干脈沖處理間隔(CPI)內(nèi)的全維時空快拍，對實(shí)際應(yīng)用更有意義的是降維STAP算法.目前較為常用的降維措施無外乎兩類.第一類是以R.Klemm提出的輔助通道法［2］，保錚教授等人提出的mDT-SAP［3］，和Hong.W提出的JDL-STAP［4］為典型，在雜波譜圖上直接選出時空波束(一般為二維可分離付氏基)進(jìn)行降維的方法.這類方法直觀且較為可靠.第二類方法是基于雜波協(xié)方差矩陣特征值的大小選取相應(yīng)的降維波束.這兩種降維措施在實(shí)際應(yīng)用中往往是脫節(jié)的.

二、信號模型與最優(yōu)自適應(yīng)權(quán)
　　設(shè)一均勻線陣有L陣元，其在某一被檢測距離環(huán)上得到的時空快拍為X=(XT1，XT2，…，XTL)T，其中Xi=(X1i,X2i,…,XMi)T，i=1,2,…,L是第i陣元上接收到的M個脈沖構(gòu)成的向量，上標(biāo)‘T’表示矩陣或向量的轉(zhuǎn)置.X可以分為以下兩部分X=S+N.其中S是目標(biāo)，N是由地(海)雜波、接收機(jī)噪聲及有源干擾構(gòu)成的.此時雜波協(xié)方差矩陣R=COV(N,N),考慮到接收機(jī)噪聲的存在性，可以認(rèn)為雜波協(xié)方差矩陣R是正定的.在輸出信雜噪比最大的準(zhǔn)則下，最優(yōu)權(quán)Wopt=kR-1S,最優(yōu)輸出信雜噪比SINRopt=SHR-1S，k為一常數(shù).雜波協(xié)方差矩陣還可以表示為R=UΛUH,U=(U1,U2,…,ULM),Λ=diag(λ1,λ2,…,λLM)，其中U1,U2,…,ULM是R的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量，λ1,λ2,…,λLM是相應(yīng)的特征根.此時，最優(yōu)權(quán)及最優(yōu)輸出信雜噪比可分別表示為

　(1)

其中，上標(biāo)‘H’表示矩陣或向量的共軛轉(zhuǎn)置.把U1，U2，…，ULM看做是彼此正交的信號通道，則λ1,λ2,…，λLM是各通道中噪聲功率，而SINRopt是各通道中信雜噪比之和.

三、基于雜波協(xié)方差矩陣特征分解的降維STAP
　　設(shè)B是一個LM×K的列滿秩降維變換矩陣，Z=BHX，變換后雜波協(xié)方差矩陣為RD=E(ZZH)=BHRB.當(dāng)降維變換后的權(quán)W=k(BHRB)-1BHS(其中k為常數(shù))，Z中相應(yīng)的最大輸出信雜噪比為SHB(BHRB)-1BHS.現(xiàn)在有這樣幾個問題：1.SHB(BHRB)-1BHS與SHR-1S誰大誰小?2.它們兩者可否相等?3.在什么條件下它們兩者相等?
　　對于確定的K,B，易證RD=BHRB是K×K正定Hermitian陣.設(shè)γi、Vi，i=1,2,…，K是RD的特征根及相應(yīng)的歸一化的特征向量.則RD=BHRB=VΓVH，其中Γ=diag(γ1，γ2，…,γK),V(V1,V2,…，VK).
　　進(jìn)一步，RD=VΓVH=BHRB=BHUΛ1/2Λ1/2UHB.從而有Γ-1/2VHBHUΛ1/2Λ1/2UHBVΓ-1/2=IK×K.令Δ=Γ-1/2VHBHUΛ1/2,則ΔΔH=IK×K.此時SHB(BHRB)-1BHS=SHBVΓ-1/2Γ-1/2VHBHS=SHUΛ-1/2ΔHΔΛ-1/2UHS.
值得注意的是Λ-1/2UHS=(λ-1/21UH1S，λ-1/22UH2S，…，λ-1/2LMUHLMS)T.則
SHB(BHRB)-1BHS=(λ-1/21SHU1,λ-1/22SHU2,…，λ-1/2LMSHULM)ΔHΔ(λ-1/21UH1S,λ-1/22UH2S,…,λ-1/2LMUHLMS)T　(2)
由于ΔHΔΔHΔ=ΔHΔ，可見ΔHΔ是冪等的.因而，當(dāng)且僅當(dāng)Λ-1/2UHS屬于ΔHΔ的象空間，即Λ-1/2UHS∈Im(ΔHΔ)時

SHB(BHRB)-1BHS=SHR-1S=∑LMi=1λ-1i|UHiS|2　(3)

反之，SHB(BHRB)-1BHS＜SHR-1S.
上式表達(dá)的是這樣一個事實(shí)，對于任意的線性降維變換，降維后所能得到的最大信雜噪比不大于SINRopt.下面給出一種使Λ-1/2UHS∈Im(ΔHΔ)的降維變換矩陣B的選取方法
定理：設(shè)|SHU1|2,|SHU2|2,|SHUK-1|2,…,∑LMi=Kλ-1i|UHiS|2＞0.對任意的正數(shù)K(1KLM)，當(dāng)

　(4)

時，V=Λ-1/2UHS∈Im(ΔHΔ).其中O1是(K-1)×1零矩陣，O2是(LM-K+1)×(K-1)零矩陣，

D1=diag(λ-11UH1S,λ-12UH2S,…，λ-1K-1UHK-1S),
D2=(λ-1KUHKS,λ-1K+1UHK+1S,…，λ-1LMUHLMS)T　(5)

證明：v∈Im(ΔHΔ)當(dāng)且僅當(dāng)　(B(BHRB)-1BH-R-1)S=O.　(6)
事實(shí)上，如果(B(BHRB)-1BH-R-1)S=O，則SHB(BHRB)-1BHS=SHR-1S.若v∈Im(ΔHΔ)，則ΔHΔv=v.于是
UΛ-1/2ΔHΔΛ-1/2UHS=UΛ-1/2Λ-1/2UHS，既(B(BHRB)-1BH-R-1)S=O.由于

　(7)

其中Λ1=diag(λ1，λ2，…,λK-1)，Λ2=diag(λK,λK+1,…,λLM),則

　(8)

其中(P1,P2)T=UHS,且P1=(UH1S,…,UHK-1S)T,P2=(UHKS,…,UHLMS)T.由于D2=Λ-12P2，則

　(9)

注釋：從證明的過程中可以看出，降維變換矩陣B具有更為一般的形式.設(shè)
∑m1i=1λ-1i|UHiS|2＞0,∑m2i=m1+1λ-1i|UHiS|2＞0,…,∑LMi=mK-1+1λ-1i|UHiS|2＞0,B=U(diag(D1,D2,…,DK))，
其中
D1=(λ-11UH1S,λ-12UH2S,…，λ-1mUHmS)T，
D2=(λ-1m1+1UHm1+1S,λ-1m1+2UHm1+2S,…,λ-1m2UHm2S)T，…，
DK=(λ-1mK-1+1UHmK-1+1S,λ-1mK-1+2UHmK-1+2S,…,λ-1LMUHLMS)T，　(10)
則v∈Im(ΔHΔ).
　　從降維變換矩陣B的構(gòu)造可以看出，B是根據(jù)各Ui(i=1,2,…,LM)通道中信雜噪比的大小對Ui做線性組合后得到的，其降維變換本身就是雜波抑制的過程.
　　再者，降維后的系統(tǒng)自由度K可取1到LM之間任意的整數(shù).當(dāng)K=1時，B=Wopt.

四、雜波協(xié)方差矩陣未知時降維自適應(yīng)雜波抑制
　　設(shè)X是被檢測距離門上的時空快拍(基本數(shù)據(jù))，X1,X2,…,Xm是與被檢測距離門相鄰的若干個距離門上的時空快拍(二次數(shù)據(jù))，則=(1/m)∑mi=1XiXHi是雜波協(xié)方差矩陣的極大似然估計(jì)，k-1S是全維SMI最優(yōu)權(quán)的估計(jì).為達(dá)到實(shí)時處理，可采用以下兩種降維STAP算法.
　　(1)先利用雜波模型，根據(jù)雷達(dá)天線的發(fā)射方向圖、主波束方位角及載機(jī)速度等參數(shù)計(jì)算出理想雜波協(xié)方差矩陣R′.再對R′做特征分解，并把結(jié)果帶入式(4)得到降維變換矩陣B.將B作用于基本數(shù)據(jù)、二次數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上做自適應(yīng)處理.
　　(2)設(shè)Z1，Z2，…,ZQ為雷達(dá)掃描在同一方位上前數(shù)個CPI中與被檢測距離門相鄰的若干個距離門上的時空快拍(在此稱為輔助數(shù)據(jù)).一定條件下可假設(shè)，Z1，Z2，…,ZQ與X1，X2，…,Xm相互獨(dú)立，且Zi、Xj具有相同的分布.設(shè)1=(1/Q)∑Qi=1ZiZHi,則1也是雜波協(xié)方差矩陣的極大似然估計(jì).對1做特征分解，并把結(jié)果帶入式(4)得到降維變化矩陣B.將B作用于基本數(shù)據(jù)、二次數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上做自適應(yīng)處理.
　　構(gòu)造上述兩種降維變換矩陣B的關(guān)鍵是通過一定的先驗(yàn)知識獲取對雜波協(xié)方差矩陣的估計(jì).盡管仍需做全維的雜波協(xié)方差矩陣特征分解，但是這樣做可爭取到實(shí)時處理中的處理時間.分析表明，如以代替1做上述第(2)種降維自適應(yīng)處理，其不僅在運(yùn)算量上與全維SMI的相當(dāng)，它們在性能上也是一致的［5］.

五、實(shí)測數(shù)據(jù)中的驗(yàn)證
　　下面以Mountaintop data t38pre01v1為例驗(yàn)證上述算法.Mountaintop實(shí)驗(yàn)中，天線是由14列陣元構(gòu)成的等效均勻線陣.波束寬度為26°(半功率點(diǎn)).每個CPI有16個脈沖.等效平臺運(yùn)動速度為94m/s.載波波長為0.6897m，在152公里(約在140號距離門前后)處有一目標(biāo).本文以十四個陣元的Chebyshev加權(quán)線陣做發(fā)射陣計(jì)算理想雜波協(xié)方差矩陣.降維過程中取K=30.
　　圖1中所示為對403個距離門做全維自適應(yīng)匹配濾波得到的信噪比輸出(-30dB對角加載).圖2中所示為對403個距離門做降維自適應(yīng)匹配濾波得到的信噪比輸出.計(jì)算中還發(fā)現(xiàn)前一算法對對角加載很敏感，而后者對對角加載不敏感.也就是說后者的降維波束很穩(wěn)定.