用FPGA實現FFT算法

引言
　　DFT(Discrete Fourier Transformation)是數字信號分析與處理如圖形、語音及圖像等領域的重要變換工具，直
接計算DFT的計算量與變換區間長度N的平方成正比。當N較大時，因計算量太大，直接用DFT算法進行譜分析和信號的實時處理是不切實際的。快速傅立葉變換(Fast Fourier Transformation，簡稱FFT)使DFT運算效率提高1～2個數量級。其原因是當N較大時，對DFT進行了基4和基2分解運算。FFT算法除了必需的數據存儲器ram和旋轉因子rom外，仍需較復雜的運算和控制電路單元，即使現在,實現長點數的FFT仍然是很困難。本文提出的FFT實現算法是基于FPGA之上的，算法完成對一個序列的FFT計算，完全由脈沖觸發，外部只輸入一脈沖頭和輸入數據，便可以得到該脈沖頭作為起始標志的N點FFT輸出結果。由于使用了雙ram，該算法是流型(Pipelined)的，可以連續計算N點復數輸入FFT，即輸入可以是分段N點連續復數數據流。采用DIF(Decimation In Frequency)-FFT和DIT(Decimation In Time)-FFT對于算法本身來說是無關緊要的，因為兩種情況下只是存儲器的讀寫地址有所變動而已，不影響算法的結構和流程，也不會對算法復雜度有何影響。算法實現的可以是基2/4混合基FFT，也可以是純基4FFT和純基2FFT運算。

傅立葉變換和逆變換
對于變換長度為N的序列x(n)其傅立葉變換可以表示如下：
　　　　 　     

由式(2)可以看出，在FFT運算模塊的基礎上，只需將輸入序列進行取共軛后再進行FFT運算，輸出結果再取一次共軛便實現了對輸入序列的IDFT運算，因子1/N對于不同的數據表示格式具體實現時的處理方式是不一樣的。IDFT在FFT的基礎上輸入和輸出均有一次共軛操作，但它們共用一個內核，仍然是十分方便的。

基4和基2
基4和基2運算流圖及信號之間的運算關系如圖1所示：

 　　　　
　　　（a）基４蝶形算法 　　　　　　

　　　　　　　　　　（b）基２蝶形算法
以基4為例，令A=r0+j×i0；B=r1+j×i1；C=r2+j×i2；D=r3+j×i3；Wk0=c0+j×s0：Wk1=c1+j×s1；Wk2=c2+j×s2；Wk3=c3+j×s3。分別代入圖1中的基4運算的四個等式中有：
A'=[r0+(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)+(r3×c3-i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)] 式(3)
B'=[r0+(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)-(i3×c3+r3×s3)]+j[i0-(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)+(r3×c3-i3×s3)] 式(4)
C'=[r0-(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)-(r3×c3-i3×s3)]+j[i0-(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)-(i3×c3+r3×s3)] 式(5)
D'=[r0-(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)-(r3×c3-i3×s3)] 式(6)
　　可以看出，式(3)至式(6)有多個公共項和類似項，這一點得到充分利用之后可以大大縮減基4和基2運算模塊中的乘法器的個數，如上面A'至D'的四個等式中的這三對類似項：(r1×c1-i1×s1)與(i1×c1+r1×s1)、(r2×c2-i2×s2)與(i2×c2+r2×s2)、(r3×c3-i3×s3)與(i3×c3+r3×s3)以高于輸入數據率的時鐘進行時分復用，最終可以做到只需要3個甚至1個復數乘法器便可以實現。基2運算之所以采用圖1-(b)中的形式進行基2運算，是為了將基本模塊做成基4/2復用模塊，它對于N有著更大的適用性和可借鑒性。在基4、基2和基4/2模塊的基礎上，構建基16、基8和基16/8模塊有著非常大的意義。

算法實現
　　傅立葉變換實現時首先進行基2、基4分解，一般來說，如果算法使用基4實現，雖然使用的資源多了一些，但速度上的好處足以彌補。如果資源充足，使用基16、基8或基16/8復用模塊，速度可以大大提高。一般FFT實現簡單框圖如圖2所示。
 
　　在圖2中，運算模塊即為基2/4/8/16模塊或它們的復用模塊，Rom表中存儲的是N點旋轉因子表。控制模塊產生所有的控制信號，存儲器1和2的讀寫地址、寫使能、運算模塊的啟動信號及因子表的讀地址等信號。當然對于運算模塊為基16/8復用模塊時，控制模塊就需要產生模式選擇信號，如對于運算模塊是基4/2模塊時，該信號就決定了內部運算模塊是進行基4運算還是基2運算。存儲器1作為當前輸入標志對應輸入N點數據的緩沖器，存儲器2作為中間結果存儲器，用于存儲運算模塊計算出的各Pass的結果。在圖中的各種地址、使能和數據的緊密配合下，經過一定延時后輸出計算結果及其對應指示標志。圖2只是一定點或浮點的FFT實現模塊，如果是塊浮點運算，則必須加入一個數據因子控制器，控制每遍運算過程中的數據大小，并根據各個Pass的乘性因子之和的大小，對最終輸出進行大小控制，以保證每段FFT運算輸出增益一致。

　　外部輸入為N點數據段流和啟動信號(N點之間如無間隔，則每N數據點輸入一脈沖信號)，一方面，外部數據存入存儲器1中，同時通過控制模塊的控制，讀出存儲器1中的前段N點數據和Rom表中的因子及相關控制信號送入運算核心模塊進行各個Pass的運算，每個Pass的輸出都存入存儲器2中，最后一個Pass的計算結果存入存儲器2中，并在下一個啟動頭到來后，輸出計算結果。對圖2的實現，除去運算模塊，關鍵是各個Pass數據因子讀寫地址及控制信號的配合。

速度、資源和精度

　　假定輸入數據的速率為fin，則每數據的持續時間T=1/fin，運算模塊的計算時鐘頻率為fa，對于N(N=2p，p即為Pass數目)點FFT計算時延與Pass數目直接相關。如果使用基2運算不考慮控制開銷，純粹的計算時延為td=p×N×T×fin/fa。顯然在fa>p× fin時，在N點內可完成FFT運算。否則不能完成，即不能實現流型的變換。這在N很大且輸入數據速率較高時以FPGA實現幾乎是不可能的，而且內部計算時鐘過高容易導致電路的工作不穩定。設基2時的最小可流型工作運算頻率為fa0，則使用基4實現流型的變換，計算時鐘fa= fa0就可以。而使用基8時計算時鐘fa= fa0便可完成，基16時為fa0的1/4。上面所討論的是純基運算，當N不為4的冪次方時(如N=2048=16×16×8，運算模塊為基16/8復用模塊)，而又希望使用較低倍的時鐘完成運算時，圖2中的運算模塊必然包括基4/2復用模塊(即基16/8復用模塊)，這也就是前面提到復用模塊的主要用意。由上面的分析可以得出結論，如果計算使用的基越大，完成速度越快。

　　但是，使用基16/8模塊所使用的邏輯資源要比基4/2模塊多將近一倍，這是因為基16/8復用模塊是以基4模塊和基4/2復用模塊構建而成。當然，可以直接實現基16/8復用模塊，但用FPGA很難解決復雜度和成本問題。另外，如果流型運算間隔比N點數據長度長一倍以上，可以考慮在較低的計算時鐘下使用基2運算模塊實現流型FFT。

　　運算結果的精度直接與計算過程中數據和因子位數(浮點算法)相關，如果中間計算的位數、存儲數據位數和Rom表中的位數越大，輸出精度就越大。當然，位數增大后邏輯運算資源和存儲資源都會直線上升。

浮點、塊浮點和定點FFT
　　根據運算過程中對數據位數取位和表示形式的不同，可以將FFT分為浮點FFT、塊浮點FFT和定點FFT。它們在實現時對于系統資源的要求是不同的，而且有著不同的適用范圍。

　　浮點FFT是基于數據表示為浮點的基礎之上的，即數據是由一純小數和一因子組成，輸入要轉成純小數和因子的浮點表示形式，所有計算過程中保存應得計算結果大小，而輸出要變成所需大小的定點表示形式。只要因子位數足夠大，浮點FFT計算是不會溢出的。而定點則是所有計算過程中都是定點運算，如果各個Pass的截位規則不適當，很容易出現溢出，必須要有溢出控制。塊浮點是介于它們之間的一種運算機制，它是根據本Pass的輸入數據的大小，在計算之前進行控制(數據上移一比特或下移一比特或乘以一特定因子)，可以保證不溢出，但一般也需要溢出控制。

　　浮點運算沒有溢出，信號平均信噪比高，但由于因子的運算必然導致電路復雜，實現困難。定點運算實現簡單，難以保證不溢出，需要統計得出合適的截位規則，否則溢出嚴重導致輸出結果錯誤。塊浮點由于每個Pass(包括最后輸出前)結束后有一統計控制過程，延時較大，但是可以保證不溢出而且電路又相對浮點來說簡單得多。

　　應根據具體應用的具體要求，選擇合適的FFT。如果要求精度，并且要解決頻域很高的單頻干擾，就必須使用浮點的FFT，使用數據位數很大的定點和塊浮點也能解決這個問題，但位數的確定十分困難。如果不要求高精度，邏輯資源和Rom比較緊張，可考慮定點運算。如果輸入在頻域集中于幾個點上或者對精度要求一般，可以慢速處理，可以采用塊浮點運算，就能夠保證這幾點的信噪比，而忽略其他點處的信噪比。