這篇文章推導了偶數階勒讓德濾波器(L濾波器, Pupoulis濾波器)的設計，方法幾乎和Pupoulis的一模一樣，但是作為Pupoulis濾波器的補充是非常有必要介紹本篇論文的。

Optimum Filters of Even Orders with Monotonic Response*

偶數階單調響應的最優濾波器*

MINORU FUKADA

自從收到本文后，Pupoulis關于同一問題的類似解決方案已經作為一封給編輯的信件出現在IRE的會議記錄中。盡管Fukada在提交他的論文時并不知道這個先前的公開信息，但是因為Fukada的處理包含了更多的細節并且包括了計算響應曲線，我們決定它仍然值得發表。—編輯

引言

PAPOULIS開發了一類新的濾波器（濾波器），在單調遞減的頻響下具有最大截止率。這類濾波器在阻帶中的衰減比同階的Butterworth濾波器更大，但由于其頻率響應中的單調性質，它仍然保持了尚可的時域響應。Papoulis給出了奇數階(odd degree)最優多項式的公式，從中推導出這些濾波器。本文的目的是給出偶數階(even degree)最優多項式的一般公式，并表明從這些多項式中，濾波器實際上是可以被實現出來的。

偶數階的濾波器

一個沒有有限零點的濾波器的幅度特性可以寫成以下形式：

其中是一個在上的階數為，且有實系數的多項式。如果隨著的增加而單調增加，那么的單調性要求就可以被滿足。因此，濾波器的問題是確定一個在上的階數為的正遞增多項式，使得在點的斜率最大。數學上，我們可以通過以下等式來定義這個問題:

以及是最大的。

對于奇數的，解已經由Papoulis給出；因此，下面的討論將僅限于偶數的

其中，由在截止頻率處的指定衰減所定。網絡函數可以通過常規方法確定。設為幅度等于的網絡函數。然后我們有

從中我們獲得了左半平面極點的。參考圖3的情況，我們有

從這個關系式我們得到，并將連分數展開，我們獲得無耗梯形網絡實現。在下面的例子中，我們將取，使得在處產生的衰減。

特殊情況

由公式(7)我們得到

因此，由公式(6)我們得到

這表明二階的濾波器退化為濾波器(譯注：這里指Butterworth濾波器)。

由公式(8)和公式(6)我們得到，

多項式及其結果的幅頻響應分別在圖1和圖2中繪制。的極點由下式給出

從中我們得到

的極點和梯形網絡實現如圖3所示。

因此，

多項式及其結果的幅度響應分別在圖4和圖5中繪制。的極點由下式給出

從中我們得到

其中，

的極點和梯形網絡實現如圖6所示。

到

結合Papoulis的結果和這里提供的結果，我們可以得到所有多項式的表格。表1列出了時的所有多項式，以及作為一個衡量標準。

表 1

結論

在上述處理過程中，我們給出了偶次最優多項式的表達式；然而，這些網絡函數的極值并未以解析形式確定。在綜合步驟中，確定極值所需的數值計算是冗繁的，因此，找到這個問題的答案十分重要。

附錄

要確定多項式在(3)和(4)中的形式，我們需要解決以下問題。考慮偶次多項式，它的次數，滿足

在這里需要確定多項式，其斜率

最大。有

我們得到

由于非負，其在區間內的所有根都是重根。因此，可以將其寫成如下形式

其中是一個沒有內部根的奇次多項式，

如果不是線性形式，那么它的次數至少是三。然而，可以證明這是不可能的。因此，應為線性形式，而且從(17)很明顯，中的常數項是正的，可以被認為是1。然后，

其中

由于會導致，所以可以排除。如果，我們可以選擇足夠小的，使得

同時

我們得到

多項式的導數

在點處的值將由下式給出：

這是不可能的。因此，或

因此

為了確定多項式的次數，我們首先將其展開成第一類Legendre多項式的級數，

現在，(13)和(14)變為

和

形成一個函數，滿足

然后我們的問題就是確定滿足以下等式的(譯注：這里使用了拉格朗日乘數法[method of Lagrange multipliers]求約束條件下的極值問題)。

因此，

其中

和

在上述的計算中，我們使用了Legendre多項式的正交關系

和遞歸公式，

式(31)的解如下所示：

情況 ?

情況?

然后，由于(33)中的項

為0，我們得到

因此，

常數可以從(28)方便地求出，

可以通過一個變換從得到(譯注：這里是一個簡單的線性變換，可以理解為一個線性函數,?，那么即可求出)

由此可以很容易地得到(6)到。

致謝

作者想要表達對Papoulis教授的感謝，因為他關于濾波器的文章，本工作基本上是依據他的方法進行開發的。

參考文獻

Manuscript received by the PGCT, December 8, 1958 .

? Yokogawa Elec. Works, Ltd., Musashinu-shi, Tokyo, Japan.

[1]: A. Papoulis, “On monotonic response filters,” Proc. IRE, vol 47, pp. 332-333; February, 1959.

[2]: A. Papoulis, “Optimum filters with monotonic response,” P_(ROC). IRE, vol. 46, pp. 606-609; March, 1958[具有單調響應的最優濾波器?].

[3]: A. Papoulis, “A new class of filters,” 1958 N_(ATIONAL) IRE C_(ONVENTION) R_(ECORD), pt. 2, pp. 42-47.

[4]: E. Jahnke and F. Emde, “Tables of Functions,” B. G. Teubner, Leipzig and Berlin, Germany, pp. 173-183; 1933.

[5]: E. A. Guillemin, “Synthesis of Passive Networks,” John Wiley and Sons, Inc., New York, N. Y., pp. 445-455; 1957.

編輯：黃飛

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