為什么離散傅里葉變換中諧波信號(hào)數(shù)目是有限的？

最近在看《信號(hào)與系統(tǒng)》，連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)和離散傅里葉級(jí)數(shù)中，離散傅里葉級(jí)數(shù)的諧波信號(hào)種類是有限的，而連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的諧波信號(hào)就有無(wú)數(shù)個(gè)，這個(gè)讓我很不解。

后來(lái)經(jīng)過(guò)公式推導(dǎo)，確實(shí)是如此，但還是沒(méi)有直觀理解，因此用matlab畫了個(gè)圖，醍醐灌頂。

----------------------------------------------------我假設(shè)你學(xué)過(guò)信號(hào)與系統(tǒng)，或者線性系統(tǒng)分析，否則別往下看------------------------------------------

周期為T的連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表示：

它說(shuō)明，任意一個(gè)周期函數(shù)（其實(shí)非周期函數(shù)也可以，不然傅里葉變換就沒(méi)有意義了）可以用一組簡(jiǎn)單的復(fù)指數(shù)函數(shù)線性疊加來(lái)表示。

其中：這就是一族頻率不同的復(fù)指數(shù)函數(shù)，k=1,2,3,......???有無(wú)數(shù)個(gè)

好了，同樣的，周期為N的離散時(shí)間序列x(n)也可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示：

n只能取0,1,2,3....等一些離散的整數(shù)點(diǎn)，因此是離散序列。

同樣，是一族離散的復(fù)指數(shù)序列。k=1,2,3,4.....看似有無(wú)數(shù)個(gè)

對(duì)離散傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，復(fù)指數(shù)序列看起來(lái)有無(wú)數(shù)個(gè)，其實(shí)只有N個(gè)，因?yàn)榈贜個(gè)和第N+1個(gè)是相同的。

證明如下：

從式子上很明顯，第k個(gè)復(fù)指數(shù)序列和第N+k個(gè)是相等的。因此，離散周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)只有N個(gè)頻率成分（每個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)代表一個(gè)頻率分量，信號(hào)中有學(xué)）。而連續(xù)時(shí)間信號(hào)就沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)，它的頻率分量有無(wú)數(shù)個(gè)。

那么，為什么呢？雖然式子上是這樣的，但是沒(méi)有直觀上明白。于是用matlab做了個(gè)仿真，結(jié)果如下：

明白了嗎，原因是這樣子的：

????? 連續(xù)傅里葉變換的第1個(gè)和第1+T個(gè)頻率分量的圖是完全不一樣的，因?yàn)轭l率不一樣。

但是，他們?cè)谡麛?shù)點(diǎn)上的采樣（也就是對(duì)應(yīng)的離散傅里葉變換的頻率分量），是相同的，這也就是為什么離散傅里葉變換第1個(gè)和第N+1個(gè)頻率成分完全相同的原因了。連續(xù)函數(shù)的圖像不同，但是在整數(shù)點(diǎn)上的采樣，是相同的。