當 =0時，點 正好落在直線上；

當 >0時，點 落在直線的上方；

當 <0時，點 落在直線的下方。

從圖2—1看出，對于起點在原點，終點為A（ ）的第Ⅰ象限直線OA來說，當點P在直線上方（即 >0）時，應該向+x方向發一個脈沖，使機床刀具向+x方向前進一步，以接近該直線；當點P在直線下方（即 <0）時，應該向+y方向發一個脈沖，使機床刀具向+y方向前進一步，趨向該直線；當點P正好在直線上（即 =0）時，既可向+x方向發一脈沖，也可向+y方向發一脈沖。因此通常將 >0和 =0歸于一類，即 ≥0。這樣從坐標原點開始，走一步，算一次，判別 ，再趨向直線，逐點接近直線 ，步步前進。當兩個方向所走的步數和終點坐標A（ ）值相等時，發出終點到達信號，停止插補。

對于圖2—1的加工直線OA，我們運用上述法則，根據偏差判別函數值，就可以獲得如圖中折線段那樣的近似直線。

但是按照上述法則進行 的運算時，要作乘法和減法運算，這對于計算過程以及具體電路實現起來都不很方便。對于計算機而言，這樣會影響速度；對于專用控制機而言，會增加硬件設備。因此應簡化運算，通常采用的是迭代法，或稱遞推法，即每走一步后新加工點的加工偏差值用前一點的加工偏差遞推出來。下面推導該遞推式：

已經知道，加工點的坐標為（ ）時的偏差為：

若 ≥0時，則向x軸發出一進給脈沖，刀具從這點即（ ）點向x方向前進一步，到達新加工點P（ ）， ，因此新加工點P（ ）的偏差值為

即:??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (2-1)

如果某一時刻，加工點P（ ）的 <0，則向y軸發出一個進給脈沖，刀具從這一點向y方向前進一步，新加工點P（ ）的偏差值為

? 即:??

????????????????????????????????????????????????????? (2-2)

? 根據式（2—1）及式（2—2）可以看出，新加工點的偏差完全可以用前一加工點的偏差遞推出來。

綜上所述，逐點比較法的直線插補過程為每走一步要進行以下4個節拍（步驟），即判別、進給、運算、比較。

（1） 判別。根據偏差值確定刀具位置是在直線的上方（或線上），還是在直線的下方。

（2） 進給。根據判別的結果，決定控制哪個坐標（x或y）移動一步。

（3） 運算。計算出刀具移動后的新偏差，提供給下一步作判別依據。根據式（2—1）及式（2—2）來計算新加工點的偏差，使運算大大簡化。但是每一新加工點的偏差是由前一點偏差 推算出來的，并且一直遞推下去，這樣就要知道開始加工時那一點的偏差是多少。當開始加工時，我們是以人工方式將刀具移到加工起點，即所謂“對刀”，這一點當然沒有偏差，所以開始加工點的 =0。

（4） 比較。在計算偏差的同時，還要進行一次終點比較，以確定是否到達了終點。若已經到達，就不再進行運算，并發出停機或轉換新程序段的信號。

下面以實例來驗證圖2—1。設欲加工直線OA，其終點坐標為 =5*, =3*，則終點判別值可取為 （終點判別方法詳見下述）。開始時偏差 ，加工過程的運算節拍如表2—1所示。

圖2-2? 逐點比較法直線插補過程

表2-1?? 逐點比較法直線插補運算舉例

二、 逐點比較法圓弧插補
加工一個圓弧，很容易聯想到把加工點到圓心的距離和該圓的名義半徑相比較來反映加工偏差。這里，我們以第Ⅰ象限逆圓弧為例導出其偏差計算公式。設要加工圖2—3所示第Ⅰ象限逆時針走向的圓弧，半徑為R，以原點為圓心，起點坐標為A( )，對于圓弧上任一加工點的坐標設為P( )，P點與圓心的距離 的平方為 ，現在討論這一加工點的加工偏差。

圖2-3? 圓弧插補過程

點擊進入動畫觀看逐點比較法圓弧插補???????????????????????????????????????????????????

若點P( )正好落在圓弧上，則下式成立：

若加工點P( )在圓弧外側，則 >R，即：

若加工點P( )在圓弧內側，則