驚聞英國著名統(tǒng)計學(xué)家 David Cox 去世，享年 97 歲，老爺子因提出Cox回歸模型而廣為人知，今天帶大家來了解一下Cox回歸。由于其復(fù)雜性和相對較少應(yīng)用（除了臨床研究），很多統(tǒng)計學(xué)習(xí)者很少接觸過和應(yīng)用Cox回歸，但隨著隊列研究和中長期隨訪的實驗性研究越來越多，我們有必要學(xué)習(xí)使用它。

Cox回歸原理簡介

在臨床研究中，經(jīng)常遇到是二分類結(jié)果（陰性/陽性；生存/死亡），研究者可以通過logistic回歸來探討影響結(jié)果的因素，或者構(gòu)建預(yù)測模型來預(yù)測新患者的預(yù)期。

但很多時候logistic回歸方法無法使用。比如，在隨訪期中，絕大部分對象都發(fā)生陽性結(jié)果( 患者全部治愈或者患者幾乎都死亡了)。例如比較兩種治療手段治療新冠肺炎效果（比如瑞德西韋和安慰劑組），可能在一個月的效果分別是95%和90%，在統(tǒng)計學(xué)上可能沒有差異。

logistic回歸是關(guān)于率的分析，探討影響發(fā)生率的因素，但發(fā)生率的研究不能說明一切。我們還可以從發(fā)生率發(fā)生的速度來分析，探討影響發(fā)生速度的因素。這便是Cox回歸基本思維，通俗來說，它可以探討，到底哪類群體的“死亡”速度更快、到底什么因素影響了“死亡”速度。1972年，由英國統(tǒng)計學(xué)家D.R.CoxCox建立了函數(shù)，來解決這個問題

其中，h（t）便是研究對象的風(fēng)險函數(shù)，即“死亡”速度，它隨著時間的變化而變化。死亡速度指的是，t時刻存活的個體在t 時刻的瞬時死亡（陽性事件發(fā)生）率。

h0（t）是回歸方程的截距；x1，x2，…xj是自變量，β1，β2…，βj為回歸系數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)，Cox回歸通過指數(shù)轉(zhuǎn)換，建立了新的線性回歸方程，用于探討自變量x對因變量h（t）的影響。

Minitab案例操作

在Minitab 21版本中，引入了此Cox回歸模型，有兩種形式，今天案例分享的是固定預(yù)測變量Cox回歸模型。

兩者簡單比較如下：

案例背景：醫(yī)學(xué)研究人員希望確定喉癌的階段是否影響死亡的幾率。研究人員計劃根據(jù)病人的年齡調(diào)整分析。研究人員記錄了90名男性癌癥患者的階段和年齡。然后，研究人員記錄了第一次治療和病人死亡或研究結(jié)束之間的年數(shù)。最后，研究人員記錄了病人是否死亡。醫(yī)學(xué)研究人員執(zhí)行COX回歸評估死亡率，年齡和癌癥階段之間的關(guān)系。研究人員還希望估計每個階段60歲男子的存活概率。數(shù)據(jù)格式如下：

Minitab操作步驟如下：

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結(jié)果解釋：

在上面的“擬合優(yōu)度檢驗”表中，所有3個檢驗的p值都小于0.05，所以該模型非常適合數(shù)據(jù)。

在上面的“系數(shù)”表，年齡的 p 值為 0.182，因此年齡的影響在α=0.05水平上并不顯著。階段的 p 值在α=0.05水平上顯著。因此，醫(yī)學(xué)研究人員得出結(jié)論，癌癥的階段對患者的生存有統(tǒng)計學(xué)上顯著的影響。在下面的“生存圖”中可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，第四期癌癥的診斷對存活概率的影響最大。圖中顯示，1年后，60歲患者有第四期癌癥的人只有64%的存活機會。其他三個階段的概率為 85% 或更高。2 年后，IV 期患者的概率降至 42%，但其他三個階段的概率保持在74%或更高。

另外，在Minitab中還有個很有用的輸出“類別預(yù)測變量的相對風(fēng)險”表，使用類別變量的相對風(fēng)險來評估癌癥不同階段之間的風(fēng)險。

例如，第四階段患者的死亡風(fēng)險是第一階段患者的 5.5068 倍。此外，置信區(qū)間顯示，第四階段患者的實際死亡風(fēng)險可能只有第一階段患者的2.4倍或12.6倍，信心水平為95%。置信區(qū)間不包含 1，因此第一階段和第四階段的死亡風(fēng)險之間的差異具有統(tǒng)計學(xué)意義。

審核編輯：符乾江