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從1870年開始，分析的概念框架發(fā)生了革命性的變化，最終導(dǎo)致了對諸如函數(shù)、連續(xù)性、可微性和可積性。
先前的觀點(diǎn)認(rèn)為，分析中的相關(guān)函數(shù)是由公式或其他“分析”表達(dá)式給出的，這些函數(shù)本質(zhì)上是連續(xù)的（或幾乎是連續(xù)的），這些函數(shù)必然對大多數(shù)點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，而且這些函數(shù)可以通過公認(rèn)的整合方法——所有這些想法都在該主題中出現(xiàn)的各種例子和問題的重壓下開始讓步，這些例子和問題不可忽視，需要理解新的概念。與這些發(fā)展相平行的是新的見解，這些見解既更加幾何又更加抽象：對曲線的性質(zhì)、曲線的可糾正性及其范圍有了更清晰的理解；同時也是集合論的開始，從直線、平面等的子集開始，以及可以分配給每一子集的“度量”。
這并不是說，對改變這些進(jìn)展所需要的觀點(diǎn)沒有多少阻力。自相矛盾的是，當(dāng)時一些著名的數(shù)學(xué)家，那些本應(yīng)最能欣賞新離任的人，卻屬于最持懷疑態(tài)度的人。新思想最終勝出，可以從現(xiàn)在可以解決的許多問題來理解。在這里，我們將不精確地描述幾個最重要的此類問題。
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