提出了基于非均勻有理B樣條(NURBS)理論的邊界單元改進方法。該方法以原分網后的節點和單元數據為依據，按照平均取值的原則獲取邊界單元邊界邊上的控制點，根據這些控制點利用NURBS理論表示邊界邊，并可通過不斷調節權因子，使分網后的邊界更加接近真實邊界。最后以VC＋＋為平臺，通過算例驗證了該改進方法的有效性，并推導了改進后邊界單元的形函數。
關 鍵 詞 非均勻有理B樣條; 復雜域; 邊界單元; 改進方法; 分網

有限元法(Finite Element Method，FEM)作為最有效的數值方法之一，已成功用于解決許多工程問題。有限元模型的建立，是進行有限元分析(Finite Element Analysis，FEA)的前提和基礎。分網又是有限元建模中最耗時的環節，是有限元分析的關鍵，它對計算精度、計算規模等都會產生較大的影響。
為滿足功能或性能要求，工程中存在大量由曲面和曲線組成的區域——復雜域組成的產品，如汽車覆蓋件、車架、橋架等。這些復雜域能很好地滿足產品性能和外觀要求，但同時也給工程分析帶來一定難度，主要體現在分網的精度上。
目前，在分網中，三角形單元應用較為廣泛，但有些工程問題需要采用四邊形單元。與三角形單元相比，四邊形單元的數據輸入和對輸出應力的解釋更容易，但不能很好地表達復雜域的實際邊界，精度不能保證[1]。為解決該問題，可采用減小單元尺寸或提高單元階次的方法來提高精度。但這些方法會使節點和單元數成倍增加，對計算機性能要求較高。
針對以上問題，本文提出了基于非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Spline，NURBS)的復雜域邊界單元的改進方法。

1 NURBS基本理論
NURBS方法，是目前最佳的曲線、曲面造型方法。由于它能夠精確描述包括二次曲線在內的各種曲線，無論是解析形狀還是自由格式形狀均有統一的表示參數，便于工程數據庫的存取和應用，并可通過控制點和權因子方便地對曲線、曲面的形狀進行局部調整。
NUBRS的提出，是為了將所有空間曲線、曲面用統一數學形式描述。國際標準組織(ISO)繼美國的PDES后，于1991年頒布了關于工業產品數據交換的STEP國際標準，把NURBS作為定義工業產品幾何形狀的唯一數學方法。
NURBS對曲線的數學定義為：已知空間n+1個點di，(i=0,1,??,n)，則一條k次NURBS曲線可表示為分段有理多項式矢函數：
,,00()()/()nniiikiikiipuwdNuwNu===ΣΣ 1[,]kkuuu+∈ (1)
式中 di為控制點，i= 0,1,??,n；wi為相應控制點的權因子(Weight Factor)，i= 0,1,??,n；為k次B樣條基函數；[u)(,uNki0,u1,??,un＋k]為曲線節點矢量。
2 復雜域邊界單元的改進
2.1 復雜域邊界單元改進思想
采用一般四邊形分網方法得到邊界單元如圖1所示。圖中i、j為邊界單元與復雜域邊界的交點；為分析域邊界的NURBS表示，i點、j點坐標分別為、。采用平均取值的方法，在邊界邊上的和間取m個控制點，即d()pu)(iup)(jup
)(iup
(jup0=，dpm?1= ，d)(jupj=。用式(1)表示邊界單元的邊界邊。 ((()/ium+?
為保證在公共節點處連續，取首末權因子為w0=wm?1=1，其余的權因子wi],0[+∞∈可取不同的值。當wi取值適當時，邊界單元邊界邊將在控制點處與邊界實現最佳逼近。控制點越多，逼近程度越好。同時，為保證NURBS曲線不出現奇異，wi取值不小于0。