小波變換簡介

　　小波變換（wavelet transform，WT）是一種新的變換分析方法，它繼承和發(fā)展了短時(shí)傅立葉變換局部化的思想，同時(shí)又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點(diǎn)，能夠提供一個(gè)隨頻率改變的“時(shí)間-頻率”窗口，是進(jìn)行信號(hào)時(shí)頻分析和處理的理想工具。它的主要特點(diǎn)是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，能對(duì)時(shí)間（空間）頻率的局部化分析，通過伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)（函數(shù)）逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。

　　傳統(tǒng)的信號(hào)理論，是建立在Fourier分析基礎(chǔ)上的，而Fourier變換作為一種全局性的變化，其有一定的局限性，如不具備局部化分析能力、不能分析非平穩(wěn)信號(hào)等。在實(shí)際應(yīng)用中人們開始對(duì)Fourier變換進(jìn)行各種改進(jìn)，以改善這種局限性，如STFT（短時(shí)傅立葉變換）。由于STFT采用的的滑動(dòng)窗函數(shù)一經(jīng)選定就固定不變，故決定了其時(shí)頻分辨率固定不變，不具備自適應(yīng)能力，而小波分析很好的解決了這個(gè)問題。小波分析是一種新興的數(shù)學(xué)分支，它是泛函數(shù)、Fourier分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的最完美的結(jié)晶；在應(yīng)用領(lǐng)域，特別是在信號(hào)處理、圖像處理、語音處理以及眾多非線性科學(xué)領(lǐng)域，它被認(rèn)為是繼Fourier分析之后的又一有效的時(shí)頻分析方法。小波變換與Fourier變換相比，是一個(gè)時(shí)間和頻域的局域變換因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。

小波變換百科

　　小波變換（wavelet transform，WT）是一種新的變換分析方法，它繼承和發(fā)展了短時(shí)傅立葉變換局部化的思想，同時(shí)又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點(diǎn)，能夠提供一個(gè)隨頻率改變的“時(shí)間-頻率”窗口，是進(jìn)行信號(hào)時(shí)頻分析和處理的理想工具。它的主要特點(diǎn)是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，能對(duì)時(shí)間（空間）頻率的局部化分析，通過伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)（函數(shù)）逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。

　　傳統(tǒng)的信號(hào)理論，是建立在Fourier分析基礎(chǔ)上的，而Fourier變換作為一種全局性的變化，其有一定的局限性，如不具備局部化分析能力、不能分析非平穩(wěn)信號(hào)等。在實(shí)際應(yīng)用中人們開始對(duì)Fourier變換進(jìn)行各種改進(jìn)，以改善這種局限性，如STFT（短時(shí)傅立葉變換）。由于STFT采用的的滑動(dòng)窗函數(shù)一經(jīng)選定就固定不變，故決定了其時(shí)頻分辨率固定不變，不具備自適應(yīng)能力，而小波分析很好的解決了這個(gè)問題。小波分析是一種新興的數(shù)學(xué)分支，它是泛函數(shù)、Fourier分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的最完美的結(jié)晶；在應(yīng)用領(lǐng)域，特別是在信號(hào)處理、圖像處理、語音處理以及眾多非線性科學(xué)領(lǐng)域，它被認(rèn)為是繼Fourier分析之后的又一有效的時(shí)頻分析方法。小波變換與Fourier變換相比，是一個(gè)時(shí)間和頻域的局域變換因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。

　　小波分析

　　與Fourier變換相比，小波變換是空間（時(shí)間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息。通過伸縮和平移等運(yùn)算功能可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信號(hào)與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個(gè)學(xué)科。數(shù)學(xué)家認(rèn)為，小波分析是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣條分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶；信號(hào)和信息處理專家認(rèn)為，小波分析是時(shí)間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號(hào)分析、語音合成、圖像識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的成果。信號(hào)分析的主要目的是尋找一種簡單有效的信號(hào)變換方法，使信號(hào)所包含的重要信息能顯現(xiàn)出來。小波分析屬于信號(hào)時(shí)頻分析的一種，在小波分析出現(xiàn)之前，傅立葉變換是信號(hào)處理領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛、效果最好的一種分析手段。傅立葉變換是時(shí)域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，從物理意義上講，傅立葉變換的實(shí)質(zhì)是把這個(gè)波形分解成不同頻率的正弦波的疊加和。正是傅立葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅立葉變換在信號(hào)分析和信號(hào)處理中的獨(dú)特地位。傅立葉變換用在兩個(gè)方向上都無限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)，把周期函數(shù)展成傅立葉級(jí)數(shù)，把非周期函數(shù)展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對(duì)函數(shù)作頻譜分析，反映了整個(gè)信號(hào)的時(shí)間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號(hào)的特征。

　　小波變換是一種新的變換分析方法，它繼承和發(fā)展了短時(shí)傅立葉變換局部化的思想，同時(shí)又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點(diǎn)，能夠提供一個(gè)隨頻率改變的“時(shí)間-頻率”窗口，是進(jìn)行信號(hào)時(shí)頻分析和處理的理想工具。它的主要特點(diǎn)是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，因此，小波變換在許多領(lǐng)域都得到了成功的應(yīng)用，特別是小波變換的離散數(shù)字算法已被廣泛用于許多問題的變換研究中。從此，小波變換越來越引起人們的重視，其應(yīng)用領(lǐng)域來越來越廣泛。

　　應(yīng)用

　　是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起的。現(xiàn)在，它已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)域，它的重要方面是圖象和信號(hào)處理。現(xiàn)今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號(hào)處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲(chǔ)、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)地角度來看，信號(hào)與圖象處理可以統(tǒng)一看作是信號(hào)處理（圖象可以看作是二維信號(hào)），小波分析的許多分析和應(yīng)用問題，都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問題。現(xiàn)在，對(duì)于其性質(zhì)隨時(shí)間是穩(wěn)定不變的信號(hào)（平穩(wěn)隨機(jī)過程），處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)定的（非平穩(wěn)隨機(jī)過程），而特別適用于非穩(wěn)定信號(hào)的工具就是小波分析。

　　事實(shí)上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號(hào)分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識(shí)別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。

　　⑴小波分析用于信號(hào)與圖象壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號(hào)與圖象的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾。基于小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。

　　⑵小波在信號(hào)分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用于邊界的處理與濾波、時(shí)頻分析、信噪分離與提取弱信號(hào)、求分形指數(shù)、信號(hào)的識(shí)別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。

　　⑶在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括計(jì)算機(jī)視覺、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、曲線設(shè)計(jì)、湍流、遠(yuǎn)程宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。

　　從圖像處理的角度看，小波變換存在以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

　　⑴小波分解可以覆蓋整個(gè)頻域（提供了一個(gè)數(shù)學(xué)上完備的描述）⑵小波變換通過選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性⑶小波變換具有“變焦”特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時(shí)間分辨率（寬分析窗口），在高頻段，可用低頻率分辨率和高時(shí)間分辨率（窄分析窗口）⑷小波變換實(shí)現(xiàn)上有快速算法（Mallat小波分解算法）

　　能不能通俗的講解下傅立葉分析和小波分析之間的關(guān)系

　　小波，一個(gè)神奇的波，可長可短可胖可瘦（伸縮平移），當(dāng)去學(xué)習(xí)小波的時(shí)候，第一個(gè)首先要做的就是回顧傅立葉變換（又回來了，唉），因?yàn)樗麄兌际穷l率變換的方法，而傅立葉變換是最入門的，也是最先了解的，通過傅立葉變換，了解缺點(diǎn)，改進(jìn)，慢慢的就成了小波變換。主要的關(guān)鍵的方向是傅立葉變換、短時(shí)傅立葉變換，小波變換等，第二代小波的什么的就不說了，太多了沒太多意義。當(dāng)然，其中會(huì)看到很多的名詞，例如，內(nèi)積，基，歸一化正交，投影，Hilbert空間，多分辨率，父小波，母小波，這些不同的名詞也是學(xué)習(xí)小波路上的標(biāo)志牌，所以在剛學(xué)習(xí)小波變換的時(shí)候，看著三個(gè)方向和標(biāo)志牌，可以順利的走下去，當(dāng)然路上的美景要自己去欣賞（這里的美景就是定義和推導(dǎo)了）。因?yàn)閮?nèi)容太多，不是很重要的地方我都注釋為（查定義）一堆文字的就是理論（可以大體一看不用立刻就懂），同時(shí)最下面也給了幾個(gè)網(wǎng)址輔助學(xué)習(xí)。

　　一、基

　　傅立葉變換和小波變換，都會(huì)聽到分解和重構(gòu)，其中這個(gè)就是根本，因?yàn)樗麄兊淖兓际菍⑿盘?hào)看成由若干個(gè)東西組成的，而且這些東西能夠處理還原成比原來更好的信號(hào)。那怎么分解呢？那就需要一個(gè)分解的量，也就是常說的基，基的了解可以類比向量，向量空間的一個(gè)向量可以分解在x，y方向，同時(shí)在各個(gè)方向定義單位向量e1、e2，這樣任意一個(gè)向量都可以表示為a=xe1+ye2，這個(gè)是二維空間的基，

　　而對(duì)于傅立葉變換的基是不同頻率的正弦曲線，所以傅立葉變換是把信號(hào)波分解成不同頻率的正弦波的疊加和，而對(duì)于小波變換就是把一個(gè)信號(hào)分解成一系列的小波，這里時(shí)候，也許就會(huì)問，小波變換的小波是什么啊，定義中就是告訴我們小波，因?yàn)檫@個(gè)小波實(shí)在是太多，一個(gè)是種類多，還有就是同一種小波還可以尺度變換，但是小波在整個(gè)時(shí)間范圍的幅度平均值是0，具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅，可以是不規(guī)則，也可以是不對(duì)稱，很明顯正弦波就不是小波，什么的是呢，看下面幾個(gè)圖就是

　　當(dāng)有了基，以后有什么用呢？

　　下面看一個(gè)傅立葉變換的實(shí)例：

　　對(duì)于一個(gè)信號(hào)的表達(dá)式為x=sin（2*pi*t）+0.5*sin（2*pi*5*t）;

　　這里可以看到是他的基就是sin函數(shù)，頻率是1和5，下面看看圖形的表示，是不是感受了到了頻域變換給人的一目了然。

　　基具有非冗余性，即使基不是正交的，有相關(guān)性，但若去掉其中任何一個(gè)，則不成為基，這一點(diǎn)也叫完備性；基的表示有唯一性，即給定一族基對(duì)一個(gè)函數(shù)的表達(dá)是唯一的；一般情況下基非正交，也稱為為exact frame（Resize basis），這個(gè)時(shí)候要表示信號(hào)可以將基正交化成唯一的正交基（對(duì)偶為其自身）；也可以求其對(duì)偶框架（dual frame），其對(duì)應(yīng)了小波變換中的雙正交情形！信號(hào)可以依框架分解，然后用對(duì)偶框架重構(gòu)。若在基集里添加一些新的向量，并隨意調(diào)整空間位置，則有可能成為框架。把函數(shù)與基或框架作內(nèi)積，也可以說成是一種函數(shù)空間到系數(shù)空間的變換。若某種變換后的能量（內(nèi)積的平方和度量）仍然有一個(gè)大于0的上下界，才可以成為框架，由于框架的冗余性，所以系數(shù)的表達(dá)也不具有唯一性。若上下界相等，則為緊框架，且界表示冗余度。若上下界相等為且為1，稱為pasval identity frame，此時(shí)不一定為正交基（想象把一組正交基中某一個(gè)拆成兩個(gè)同方向的基之和，則pasval identity仍然成立），此時(shí)若加上基的長度均為一的條件，則框架退化為正交基。可能你會(huì)問我們用基來表示信號(hào)就行了啊，為什么還要框架呢？其實(shí)很多信號(hào)表示方法不能構(gòu)成基，卻能構(gòu)成框架，如短時(shí)傅立葉變換中如要求窗函數(shù)滿足基條件，則可推出該函數(shù)有很差的時(shí)頻局部化性質(zhì)（事實(shí)上退化為了傅立葉變換。

　　二、內(nèi)積

　　在Hilbert空間（查定義）里看到這個(gè)東西，用來刻畫兩個(gè)向量的夾角，當(dāng)內(nèi)積為0時(shí)，兩個(gè)向量正交，若g為Hilbert空間里的正交基的時(shí)候，內(nèi)積為f向基上的正交投影；（Hilbert空間是一個(gè)很直觀的空間，我一直都理解為歐氏空間去理解定義在其上的東西，L^2（平方可積，查定義）和l^2同樣為Hilbert空間。

　　下面這個(gè)公式是基本，經(jīng)過變形后會(huì)用在推導(dǎo)中：

　　如果兩個(gè)向量的內(nèi)積為0 ，就說他們是正交的。

　　如果一個(gè)向量序列相互對(duì)偶正交，并且長度都為1，那么就說他們是正交歸一化的。

　　對(duì)于，存在L2（R）上一組標(biāo)準(zhǔn)正交基gi（t），i=1，2，3…。，使得

　　L2（R）上任意一個(gè)函數(shù)f（t）都可以由L2（R）上的一個(gè)規(guī)范正交基gi（t）進(jìn)行線性組合表示出來

　　三、傅立葉的缺點(diǎn)

　　先列舉出來缺點(diǎn)，然后再說明：

　　（1） Fourier分析不能刻畫時(shí)間域上信號(hào)的局部特性

　　（2） Fourier分析對(duì)突變和非平穩(wěn)信號(hào)的效果不好，沒有時(shí)頻分析

　　傅立葉變換傅立葉變換將函數(shù)投影到三角波上，將函數(shù)分解成了不同頻率的三角波，這不能不說是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，但是在大量的應(yīng)用中，傅立葉變換的局限性卻日趨明顯，事實(shí)上在光滑平穩(wěn)信號(hào)的表示中，傅立葉基已經(jīng)達(dá)到了近似最優(yōu)表示，但是日常生活中的信號(hào)卻并不是一直光滑的，而且奇異是平凡的，傅立葉在奇異點(diǎn)的表現(xiàn)就著實(shí)讓人不爽，從對(duì)方波的傅立葉逼近就可以看出來，用了大量不同頻率的三角波去逼近其系數(shù)衰減程度相當(dāng)緩慢，而且會(huì)產(chǎn)生Gibbs效應(yīng)。其內(nèi)在的原因是其基為全局性基，沒有局部化能力，以至局部一個(gè)小小的擺動(dòng)也會(huì)影響全局的系數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中很需要時(shí)頻局部化，傅立葉顯然缺乏此能力了。即使如此，由于其鮮明的物理意義和快速計(jì)算，在很多場合仍然應(yīng)用廣泛。傅立葉變換在從連續(xù)到離散的情形是值得借鑒與學(xué)習(xí)的，大家都知道，時(shí)間周期對(duì)應(yīng)頻域離散，時(shí)間離散對(duì)應(yīng)頻域周期，時(shí)間離散周期對(duì)應(yīng)頻域離散 周期，DFT其實(shí)是將離散信號(hào)做周期延拓然后做傅立葉變換再截取一個(gè)周期，反變換同樣如此，所以DFT用的是塊基的概念，這樣如果信號(hào)兩端的信號(hào)連接后不再光滑（即使兩邊都光滑），同樣會(huì)在邊界上產(chǎn)生大幅值系數(shù)（邊界效應(yīng)），延伸到圖像中就是塊效應(yīng)。當(dāng)對(duì)信號(hào)做對(duì)稱周期延拓后再做傅立葉變換得到的正弦系數(shù)全部為0，也就是任何對(duì)稱函數(shù)可以寫成余弦的線性組合，同樣按照離散的思路構(gòu)造得到的是離散塊余弦基，即DCT變換，雖然DCT可以通過對(duì)稱后周期延拓再變換減少了邊界效應(yīng)（兩邊信號(hào)接上了，但不一定平滑），但任不能消除塊效應(yīng)，尤其是圖像變換中人為將圖像分成8*8處理后塊效應(yīng)更加明顯。但是DCT很好的能量聚集效應(yīng)讓人驚奇，加之快速計(jì)算方法使它替代DFT成為圖像的壓縮的標(biāo)準(zhǔn)了很長時(shí)間（JPEG）。

　　上面一堆文字也許看的有點(diǎn)蒙，還是用圖來說明

　　第一個(gè)就是傅立葉變換是整個(gè)時(shí)域，所以沒有局部特征，這個(gè)也是他的基函數(shù)決定的看圖，同時(shí)如果在時(shí)域張有了突變，那么在頻域就需要大量的三角波去擬合，這也是傅立葉變換性質(zhì)決定的。

　　第二個(gè)就是面對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，傅立葉變換可以看到由哪些頻域組成，但是不知道各成分對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是什么，也就是沒有時(shí)頻分析，看不出來信號(hào)頻域隨著時(shí)間變換的情況，反過來說就是，一個(gè)的頻圖對(duì)應(yīng)好幾個(gè)時(shí)域圖，不知道是哪個(gè)，這個(gè)在實(shí)際應(yīng)用中就不好了，看圖

　　做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)時(shí)域上有巨大差異的信號(hào)，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)，我們從頻譜上無法區(qū)分它們，因?yàn)樗鼈儼乃膫€(gè)頻率的信號(hào)的成分確實(shí)是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同。

　　可見，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號(hào)有天生缺陷。它只能獲取一段信號(hào)總體上包含哪些頻率的成分，但是對(duì)各成分出現(xiàn)的時(shí)刻并無所知。因此時(shí)域相差很大的兩個(gè)信號(hào)，可能頻譜圖一樣。

　　然而平穩(wěn)信號(hào)大多是人為制造出來的，自然界的大量信號(hào)幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學(xué)信號(hào)分析等領(lǐng)域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。

　　上圖所示的是一個(gè)正常人的事件相關(guān)電位。對(duì)于這樣的非平穩(wěn)信號(hào)，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個(gè)成分出現(xiàn)的時(shí)間。知道信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的情況，各個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)頻率及其幅值——這也就是時(shí)頻分析。

　　三、短時(shí)傅立葉變換（Short-time Fourier Transform，STFT）

　　有了缺點(diǎn)就要改進(jìn)了，這里就出來了短時(shí)傅立葉變換，也叫加窗傅立葉變換，顧名思義，就是因?yàn)楦盗⑷~變換的時(shí)域太長了，所以要弄短一點(diǎn)，這樣就有了局部性。

　　定義：把整個(gè)時(shí)域過程分解成無數(shù)個(gè)等長的小過程，每個(gè)小過程近似平穩(wěn)，再傅里葉變換，就知道在哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)了什么頻率了。”這就是短時(shí)傅里葉變換。下面就是示意圖

　　時(shí)域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時(shí)間的變化情況了嗎！

　　可能理解這一點(diǎn)最好的方式是舉例子。首先，因?yàn)槲覀兊淖儞Q是對(duì)時(shí)間和頻率的函數(shù)（不像傅立葉變換，僅僅是對(duì)頻率的函數(shù)），它是二維的（如果加上幅度則是三維）。以下圖所示的非平穩(wěn)信號(hào)為例：

　　在這個(gè)信號(hào)中，在不同時(shí)刻有四個(gè)頻率分量。0-250ms內(nèi)信號(hào)的頻率為300Hz，其余每個(gè)250ms的間隔的信號(hào)頻率分別為200Hz，100Hz和50Hz。很明顯，這是一個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)，讓我們看一看它的短時(shí)傅立葉變換：用這樣的方法，可以得到一個(gè)信號(hào)的時(shí)頻圖了：

　　圖上既能看到10Hz， 25 Hz， 50 Hz， 100 Hz四個(gè)頻域成分，還能看到出現(xiàn)的時(shí)間。兩排峰是對(duì)稱的，所以大家只用看一排就行了。

　　看著貌似解決了問題，好像有了局部性，但是這個(gè)名字叫做加窗傅立葉變換，那么這個(gè)窗要多大了呢？

　　窗太窄，窗內(nèi)的信號(hào)太短，會(huì)導(dǎo)致頻率分析不夠精準(zhǔn)，頻率分辨率差。

　　窗太寬，時(shí)域上又不夠精細(xì)，時(shí)間分辨率低。

　　（這里插一句，這個(gè)道理可以用海森堡不確定性原理來解釋。類似于我們不能同時(shí)獲取一個(gè)粒子的動(dòng)量和位置，我們也不能同時(shí)獲取信號(hào)絕對(duì)精準(zhǔn)的時(shí)刻和頻率。這也是一對(duì)不可兼得的矛盾體。我們不知道在某個(gè)瞬間哪個(gè)頻率分量存在，我們知道的只能是在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)某個(gè)頻帶的分量存在。所以絕對(duì)意義的瞬時(shí)頻率是不存在的。）

　　上圖對(duì)同一個(gè)信號(hào)（4個(gè)頻率成分）采用不同寬度的窗做STFT，結(jié)果如右圖。用窄窗，時(shí)頻圖在時(shí)間軸上分辨率很高，幾個(gè)峰基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個(gè)寬窗精確。

　　所以窄窗口時(shí)間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時(shí)間分辨率低、頻率分辨率高。

　　對(duì)于時(shí)變的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會(huì)變化，所以STFT還是無法滿足非穩(wěn)態(tài)信號(hào)變化的頻率的需求。

　　四、小波變換

　　真是千呼萬喚才出來了，終于看見小波了啊。

　　這里先引入小波，回顧一下基，然后再看看小波的優(yōu)點(diǎn)，其實(shí)就是上面傅立葉缺點(diǎn)的解決。

　　對(duì)于加窗傅立葉變換讓人頭疼的就是窗口的大小問題，如果我們讓窗口的大小可以改變，不就完美了嗎？答案是肯定的，小波就是基于這個(gè)思路，但是不同的是。STFT是給信號(hào)加窗，分段做FFT；而小波變換并沒有采用窗的思想，更沒有做傅里葉變換。小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數(shù)基換成了有限長的會(huì)衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時(shí)間了~

　　這里就又回到了最開始的基了。

　　這個(gè)基函數(shù)會(huì)伸縮、會(huì)平移（其實(shí)是兩個(gè)正交基的分解）。縮得窄，對(duì)應(yīng)高頻；伸得寬，對(duì)應(yīng)低頻。然后這個(gè)基函數(shù)不斷和信號(hào)做相乘。某一個(gè)尺度（寬窄）下乘出來的結(jié)果，就可以理解成信號(hào)所包含的當(dāng)前尺度對(duì)應(yīng)頻率成分有多少。于是，基函數(shù)會(huì)在某些尺度下，與信號(hào)相乘得到一個(gè)很大的值，因?yàn)榇藭r(shí)二者有一種重合關(guān)系。那么我們就知道信號(hào)包含該頻率的成分的多少。如前邊所說，小波做的改變就在于，將無限長的三角函數(shù)基換成了有限長的會(huì)衰減的小波基。效果如下圖

　　現(xiàn)在來看一下小波公式

　　從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個(gè)變量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函數(shù)的伸縮，平移量 τ控制小波函數(shù)的平移。尺度就對(duì)應(yīng)于頻率（反比），平移量 τ就對(duì)應(yīng)于時(shí)間。如下圖

　　當(dāng)伸縮、平移到這么一種重合情況時(shí)，也會(huì)相乘得到一個(gè)大的值。這時(shí)候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號(hào)有這樣頻率的成分，而且知道它在時(shí)域上存在的具體位置。

　　而當(dāng)我們?cè)诿總€(gè)尺度下都平移著和信號(hào)乘過一遍后，我們就知道信號(hào)在每個(gè)位置都包含哪些頻率成分。

　　看到了嗎？有了小波，我們從此再也不害怕非穩(wěn)定信號(hào)啦！從此可以做時(shí)頻分析啦！

　　（1） 解決了局部性

　　（2）解決時(shí)頻分析

　　做傅里葉變換只能得到一個(gè)頻譜，做小波變換卻可以得到一個(gè)時(shí)頻譜！

　　時(shí)域信號(hào) 傅立葉變換結(jié)果 小波變換結(jié)果

　　五、小波的深入

　　上面那么多，也就是走進(jìn)小波的大門，具體的我們還要學(xué)習(xí)子空間、多分辨率，母小波的變換，如何去構(gòu)造想要的小波函數(shù)，然后還有離散小波變換，正交小波變換，二維小波變換，小波包的應(yīng)用（這里沒有介紹可以自己看資料）。好像還有很多要學(xué)習(xí)的。

　　這里先深入一下，父小波和母小波，多分辨率分析，了解一下伸縮和平移。

　　任何小波變換的基函數(shù)，其實(shí)就是對(duì)母小波和父小波縮放和平移的集合。首先要看的就是多分辨率分析。

　　每個(gè)小波變換都會(huì)有一個(gè)mother wavelet，我們稱之為母小波，同時(shí)還有一個(gè)father wavelet，就是scaling function。而該小波的basis函數(shù)其實(shí)就是對(duì)這個(gè)母小波和父小波縮放和平移形成的。縮放倍數(shù)都是2的級(jí)數(shù)，平移的大小和當(dāng)前其縮放的程度有關(guān)。

　　還講到，小波系統(tǒng)有很多種，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展開的近似形式是這樣：

　　其中的就是小波級(jí)數(shù)，這些級(jí)數(shù)的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級(jí)數(shù)有一點(diǎn)不同的是，小波級(jí)數(shù)通常是orthonormal basis，也就是說，它們不僅兩兩正交，還歸一化了。

　　我們還講了一般小波變換的三個(gè)特點(diǎn)，就是小波級(jí)數(shù)是二維的，能定位時(shí)域和頻域，計(jì)算很快。但我們并沒有深入講解，比如，如何理解這個(gè)二維？它是如何同時(shí)定位頻域和時(shí)域的？

　　在這一篇文章里，我們就來討論一下這些特性背后的原理。

　　首先，我們一直都在講小波展開的近似形式。那什么是完整形式呢？之前講到，小波basis的形成，是基于基本的小波函數(shù)，也就是母小波來做縮放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在構(gòu)建小波基函數(shù)集合的時(shí)候，通常還要用到一個(gè)函數(shù)叫尺度函數(shù)，scaling function，人們通常都稱其為父小波。它和母小波一樣，也是歸一化了，而且它還需要滿足一個(gè)性質(zhì)，就是它和對(duì)自己本身周期平移的函數(shù)兩兩正交：

　　另外，為了方便處理，父小波和母小波也需要是正交的。可以說，完整的小波展開就是由母小波和父小波共同定義的。

　　其中ψ（t）是母小波，是父小波。需要提醒一點(diǎn)的是，這個(gè)正交純粹是為了小波分析的方便而引入的特性，并不是說小波變換的基就一定必須是正交的。但大部分小波變換的基確實(shí)是正交的，所以本文就直接默認(rèn)正交為小波變換的主要性質(zhì)之一了。引入這個(gè)父小波呢，主要是為了方便做多解析度分析（multiresolution analysis， MRA）。說到這里，你的問題可能會(huì)井噴了：好好的為什么出來一個(gè)父小波呢？這個(gè)scaling function是拿來干嘛的？它背后的物理意義是什么？waveletfunction背后的物理意義又是什么？這個(gè)多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我們圍繞一個(gè)例子來鞏固一下前面的知識(shí)，同時(shí)再引出新的特性。

　　假設(shè)我們有這樣一個(gè)信號(hào)：

　　該信號(hào)長度為8，是離散的一維信號(hào)。我們要考慮的，就是如何用小波將其展開。為了方便講解，我們考慮最簡單的一種小波，哈爾小波。下面是它的一種母小波：

　　那如何構(gòu)建基于這個(gè)母小波的基呢？剛才提到了，要縮放，要平移。我們先試試縮放，那就是ψ（2n）：

　　但這樣的話，它與自己的內(nèi)積就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我們要在前面加一個(gè)系數(shù)根號(hào)二，這樣我們就得到了另一個(gè)哈爾小波的basis function：

　　同理，我們可以一直這樣推廣下去做scale，得到4n，8n，……。下的basis function。當(dāng)然在這個(gè)例子里，我們信號(hào)長度就是8，所以做到4n就夠了。但推廣來說，就是這種scaling對(duì)母小波的作用為，這是歸一化后的表示形式。

　　平移的話也很簡單，我們可以對(duì)母小波進(jìn)行平移，也可以對(duì)scale之后的basis function進(jìn)行平移。比如對(duì)上一幅圖中的basis function進(jìn)行平移，就成了

　　看得出來，平移后的basis function和母小波以及僅僅scale過的小波，都是正交的，附合小波basis的特點(diǎn)。如果我們用ψ（n）來表示這個(gè)mother wavelet，那么這些orthonormal basis函數(shù)可以寫成：

　　這里的k是可以看成時(shí)域的參數(shù)，因?yàn)樗刂浦〔ɑ鶗r(shí)域的轉(zhuǎn)移，而j是頻域的參數(shù)，因?yàn)樗鼪Q定了小波基的頻率特性。看到這里，你應(yīng)該會(huì)感覺很熟悉，因?yàn)檫@里的平移和變換本質(zhì)和剛才對(duì)scaling function的平移變換是一模一樣的。

　　這樣，我們就有了針對(duì)此信號(hào)space的哈爾小波basis組合：

　　可以看出，我們用到了三層頻率尺度的小波函數(shù)，每往下一層，小波的數(shù)量都是上面一層的兩倍。在圖中，每一個(gè)小波基函數(shù)的表達(dá)形式都寫在了波形的下面。

　　等等，你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，有問題。這里為什么多了個(gè)沒有函數(shù)表達(dá)式的波形呢？這貨明顯不是wavelet function阿。沒錯(cuò)，它是之前提到的scaling function，也就是父小波。然后你可能就會(huì)問，為啥這個(gè)憑空插了一個(gè)scaling function出來呢？明明目標(biāo)信號(hào)已經(jīng)可以用純的小波基組合表示了。是，確實(shí)是，就算不包括scaling function，這些小波函數(shù)本身也組成了正交歸一基，但如果僅限于此的話，小波變換也就沒那么神奇的功效了。引入這個(gè)scaling function，才能引入我們提到的多解析度分析的理論，而小波變換的強(qiáng)大，就體現(xiàn)在這個(gè)多解析度上。那在這里，我們?cè)趺从眠@個(gè)多解析度呢？這個(gè)哈爾小波basis組合是怎么通過多解析度推導(dǎo)出來的呢？

　　話說在數(shù)學(xué)定義中，有一種空間叫Lebesgue空間，對(duì)于信號(hào)處理非常重要，可以用L^p（R）表示，指的是由p次可積函數(shù)所組成的函數(shù)空間。我們?cè)谛〔ㄗ儞Q中要研究的信號(hào)都是屬于L^2（R）空間的，這個(gè)空間是R上的所有處處平方可積的可測函數(shù)的集合，這樣就等于對(duì)信號(hào)提出了一個(gè)限制，就是信號(hào)能量必須是有限的，否則它就不可積了。小波變換的定義都是基于但不限于L^2（R）中的信號(hào)的。這玩意的特性要具體解釋起來太數(shù)學(xué)了，牽涉到太多泛函知識(shí)，我就不在這里詳述了。而且老實(shí)說我也沒能力完全講清楚，畢竟不是學(xué)這個(gè)的，有興趣可以參考wiki。總之你記住，小波變換研究中所使用的信號(hào)基本都是平方可積的信號(hào)，但其應(yīng)用不限于這種信號(hào)，就行了。

　　對(duì)L^2（R）空間做MRA是在干嘛呢？就是說，在L^2（R）空間中，我們可以找出一個(gè)嵌套的空間序列，并有下列性質(zhì)：

　　我來簡單解釋一下這些性質(zhì)。這個(gè)V_j都是L^2（R）空間中的子空間，然后他們是由小到大的，交集是{0}，因?yàn)檫@是最小的子空間，并集就是L空間。是不是有點(diǎn)難以理解？沒關(guān)系，看看下面這個(gè)圖就清楚了：

　　這個(gè)圖是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0，之后分別是V1，V2，V3，V4 。那他們有趣的性質(zhì)就是，假如有一個(gè)函數(shù)f（t）他屬于一個(gè)某空間，那你將其在時(shí)域上平移，它還是屬于這個(gè)空間。但如果你對(duì)它頻域的放大或縮小，它就會(huì)相應(yīng)移到下一個(gè)或者上一個(gè)空間了。

　　同時(shí)我們還知道，你要形容每一個(gè)空間的話，都需要有對(duì)應(yīng)的orthonormal basis，這是必然的，那對(duì)于V0來講，它的orthonormal basis就是

　　這一系列函數(shù)是什么呢？是的時(shí)域變換，而且我們剛才也說了，時(shí)域上平移，是不會(huì)跳出這個(gè)空間的。這樣，我們就可以說，由這一系列basis所定義的L^2（R）子空間V0被這些basis所span，表示成：

　　k從負(fù)無窮到正無窮。上面的bar表示這是一個(gè)閉包空間，也就是說

　　這樣，我們就定義了基本的V0這個(gè)子空間。剛才說了，這個(gè)子空間的基都是對(duì)的整數(shù)時(shí)域變換，這里我們稱為scalingfunction，所以換個(gè)說法，就是說這里整個(gè)子空間V0，由scalingfunction和其時(shí)域變換的兄弟們span。

　　當(dāng)然，如果這個(gè)scaling function只是用來代表一個(gè)子空間的，那它的地位也就不會(huì)這么重要了。剛才我們提到，這個(gè)嵌套空間序列有一個(gè)性質(zhì)，。這就是這個(gè)函數(shù)，如果你對(duì)它頻域的放大或縮小，它就會(huì)相應(yīng)移到下一個(gè)或者上一個(gè)空間了。這個(gè)性質(zhì)就有意思了，它代表什么呢？對(duì)于任何一個(gè)包含V0的更上一層的空間來講，他們的基都可以通過對(duì)scaling function做頻域的scale后再做時(shí)域上的整數(shù)變換得到！推廣開來就是說，當(dāng)

　　我們有

　　這也就意味著，對(duì)于任何屬于V_j空間的函數(shù)f（t），都可以表示為：

　　到這里，我們就明白這些個(gè)子空間和那個(gè)憑空冒出來的scaling function的作用了。scaling的構(gòu)建這些不同的子空間的基礎(chǔ)，當(dāng)j越大的時(shí)候，每一次你對(duì)頻率變換后的scaling function所做的時(shí)域上的整數(shù)平移幅度會(huì)越小，這樣在這個(gè)j子空間里面得到的f（t）表示粒度會(huì)很細(xì)，細(xì)節(jié)展現(xiàn)很多。反之亦然。通俗點(diǎn)說，就是對(duì)scaling function的變換平移給你不同的子空間，而不同的子空間給你不同的分辨率，這樣你就可以用不同的分辨率去看目標(biāo)信號(hào)。

　　下面就是時(shí)候看看什么是MRA equation了，這是更加有趣，也是更加核心的地方。通過剛才的講解，V0屬于V1，那scaling function是在V0中的，自然也在V1中了。我們把他寫成V1的基的線性組合，那就是

　　其中的h（n）是scaling function的系數(shù)，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。根號(hào)2是為了維持norm為1的。看，在這個(gè)公式里，我們就把屬于V0的函數(shù)用V1的基表示出來了。同理，我們可以循環(huán)如此，把屬于V0的在V2，V3， …， Vn中表示出來。這些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理論的基礎(chǔ)，也是小波分析的基礎(chǔ)之一。

　　好，稍微總結(jié)一下。到現(xiàn)在，已經(jīng)講了關(guān)于scaling function的基本理論知識(shí)，知道了信號(hào)空間可以分為不同精細(xì)度的子空間，這些子空間的basis集合就是scaling function或者頻率變換之后的scaling function，如下圖所示：

　　上圖就是四個(gè)子空間的basis集合的展覽。通過前面的討論，我們還知道，一開始的scalingfunction可以通過更精細(xì)的子空間的scaling function（它們都是對(duì)應(yīng)子空間的basis）來構(gòu)建。比如

　　對(duì)于更加finer的scale：

　　依此類推。實(shí)際上，對(duì)于任何scale和translate過的scaling function，都可以用更加精細(xì)的scale層面上的scaling function構(gòu)建出來。

　　然后，我們有各種scale下的scaling function了，該看看它們分別所對(duì)應(yīng)的嵌套的空間序列了。先看看V0，自然就是以基本的scaling function為基礎(chǔ)去span出來的：

　　這個(gè)不新鮮，剛才就講過了。這個(gè)子空間代表什么樣的信號(hào)？常量信號(hào)。道理很簡單，這個(gè)scaling function在整個(gè)信號(hào)長度上，沒有任何變化。繼續(xù)往下看：

　　這個(gè)相比V0更加finer的子空間，代表著這樣一種信號(hào)，它從1-4是常量，從5-8是另一個(gè)常量。同理我們有：

　　V2代表的信號(hào)，是分別在1，2; 3，4; 5，6; 7，8上有相同值的信號(hào)。那么V3呢？則表示任何信號(hào)，因?yàn)閷?duì)于V3來講，任何一個(gè)時(shí)間刻度上的值都可以不一樣。而且現(xiàn)在，我們也可以通過上面的一些scaling functions的波形驗(yàn)證了之前提到的多解析度分析中的一個(gè)核心性質(zhì)，那就是：

　　我們之前講了一堆多解析度的理論，但直到現(xiàn)在，通過這些圖形化的分析，我們可能才會(huì)真正理解它。那好，既然我們有一個(gè)現(xiàn)成的信號(hào)，那就來看看，對(duì)這個(gè)信號(hào)作多解析度分析是啥樣子的：

　　你看，在不同的子空間，對(duì)于同一個(gè)信號(hào)就有不同的詮釋。詮釋最好的當(dāng)然是V3，完全不損失細(xì)節(jié)。這就是多解析度的意義。我們可以有嵌套的，由scalingfunction演變的basis function集合，每一個(gè)集合都提供對(duì)原始信號(hào)的某種近似，解析度越高，近似越精確。

　　說到這里，可能你對(duì)scaling function以及多解析度分析已經(jīng)比較理解了。但是，我們還沒有涉及到它們?cè)谛〔ㄗ儞Q中的具體應(yīng)用，也就是還沒有回答剛才那個(gè)問題：憑空插了一個(gè)scaling function到小波basis組合中干嘛。也就是說，我們希望理解scaling function是怎么和小波函數(shù)結(jié)合的呢，多解析度能給小波變換帶來什么樣的好處呢。這其實(shí)就是是小波變換中的核心知識(shí)。理解了這個(gè)，后面的小波變換就是純數(shù)學(xué)計(jì)算了。

　　好，我們已經(jīng)知道，對(duì)于子空間V0，basis是scalingfunction：

　　看出什么規(guī)律了么？多看幾次這三個(gè)圖，你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)，在V0中的scaling function和wavelet function的組合，其實(shí)就是V1中的basis！繼續(xù)這樣推導(dǎo)，V1本來的的basis是：

　　他們的組合，本質(zhì)上也就是V2的basis（參考圖2）。你繼續(xù)推導(dǎo)下去，會(huì)得到同樣的結(jié)論：在scale j的wavelet function，可以被用來將Vj的basis擴(kuò)展到V（j+1）中去！這是一個(gè)非常非常關(guān)鍵的性質(zhì)，因?yàn)檫@代表著，對(duì)任何一個(gè)子空間Vj，我們現(xiàn)在有兩種方法去得到它的orthonormal basis：

　　1. 一種就是它本來的basis ，對(duì)任意k。

　　2. 第二種就是它上一個(gè)子空間的basis，對(duì)任意k，以及上一級(jí)子空間的wavelet function ，對(duì)任意k。

　　第二種選擇能給我們帶來額外的好處，那就是我們可以循環(huán)不斷地用上一級(jí)子空間的scaling function以及wavelet function的組合來作為當(dāng)前子空間的基。換句話說，如果針對(duì)V3這個(gè)子空間，它實(shí)際上就有四種不同的，但是等價(jià)的orthonormal basis：

　　1. 本級(jí)（V3）的scalingfunction basis set

　　2. 上一級(jí)（V2）的scalingfunction + wavelet function;

　　3 。 上上一級(jí)（V1）的scalingfunction + 上上一級(jí)（V1）的waveletfunction + 上一級(jí)（V2）的waveletfunction;

　　4. 上上上一級(jí)（V0）的scalingfunction + 上上上一級(jí)（V0）的waveletfunction + 上上一級(jí)（V1）的waveletfunction + 上一級(jí)（V2）的waveletfunction

　　好，看看最后一種選取方式，有沒有感到眼熟？對(duì)了，它就是我們之前提到的“針對(duì)此信號(hào)space的哈爾小波basis組合”，參見圖1。現(xiàn)在我們知道了，這個(gè)scalingfunction不是憑空插進(jìn)去的，而是通過不斷的嵌套迭代出來的：

　　那為什么我們最后選定的是這種選取方式呢？實(shí)際上，剛才介紹的這個(gè)性質(zhì)已經(jīng)告訴我們，對(duì)于任何的scale j0，我們都可以給我們的signal space找到一組orthonormal basis，這個(gè)basis是通過組合scale j0上的scaling function以及所有在scale j，j》=j0上的wavelets得到的。這樣，基于這個(gè)orthonormal basis，

　　所有信號(hào)空間中的信號(hào)都可以寫成組成這個(gè)basis的functions的線性組合：

　　對(duì)應(yīng)的系數(shù)的計(jì)算和平常一樣：

　　這，就是最終的，也是最核心的，小波變換形式。不管是信號(hào)壓縮，濾波，還是別的方式處理，只要是用小波變換，都逃不出這個(gè)基礎(chǔ)流程：

　　1. 選取合適的wavelet function和scaling function，從已有的信號(hào)中，反算出系數(shù)c和d。

　　2. 對(duì)系數(shù)做對(duì)應(yīng)處理

　　3. 從處理后的系數(shù)中重新構(gòu)建信號(hào)。

　　這里的系數(shù)處理是區(qū)別你的應(yīng)用的重點(diǎn)。比如圖像或者視頻壓縮，就希望選取能將能量聚集到很小一部分系數(shù)中的小波，然后拋棄那些能量很小的小波系數(shù)，只保留少數(shù)的這些大頭系數(shù)，再反變換回去。這樣的話，圖像信號(hào)的能量并沒有怎么丟失，圖像體積卻大大減小了。

　　還有一個(gè)沒有解釋的問題是，為什么要強(qiáng)調(diào)尺度函數(shù)和小波函數(shù)組成一個(gè)orthonormal basis呢？計(jì)算方便是一方面，還有一個(gè)原因是，如果他們滿足這個(gè)性質(zhì)，就滿足瑞利能量定理，也就是說，信號(hào)的能量，可以完全用每個(gè)頻域里面的展開部分的能量，也就是他們的展開系數(shù)表示：

　　到這里，我們對(duì)小波變換的形式就講完了。雖然是用的最簡單的哈爾小波為例子，但舉一反三即可。我們著重介紹了多解析度分析以及它給小波變換帶來的殺手锏：時(shí)域頻域同時(shí)定位。結(jié)束之前，再多說幾句小波變換的意義。我們拿剛才例子中V3子空間的第二種可選擇的orthonormal basis作為例子：

　　左邊這四個(gè)basis組成元素，也就是scaling functions，的系數(shù)，表征的是信號(hào)的local平均（想想它們和信號(hào)的內(nèi)積形式），而右邊的這四個(gè)basis組成元素，也就是wavelet functions，的系數(shù)則表征了在local平均中丟失的信號(hào)細(xì)節(jié)。得益于此，多解析度分析能夠?qū)π盘?hào)在越來越寬的區(qū)域上取平均，等同于做低通濾波，而且，它還能保留因?yàn)槠骄鴵p失的信號(hào)細(xì)節(jié)，等同于做高通濾波！這樣，我們終于可以解釋了wavelet function和scaling function背后的物理意義了：wavelet function等同于對(duì)信號(hào)做高通濾波保留變化細(xì)節(jié)，而scalingfunction等同于對(duì)信號(hào)做低通濾波保留平滑的shape！

　　對(duì)小波變換的基礎(chǔ)知識(shí)，我們就講到這里。需要注意的是，這只是小波變換最基本最基本的知識(shí)，但也是最核心的知識(shí)。看完這里其實(shí)就是回到了最開始的介紹：小波變換是把信號(hào)分解成一系列的小波（經(jīng)過原始小波伸縮和平移得到的），這里就告訴了我們伸縮和平移

　　六、小波的應(yīng)用

　　小波是多分辨率理論的分析基礎(chǔ)。而多分辨率理論與多種分辨率下的信號(hào)表示和分析有關(guān)，其優(yōu)勢很明顯--某種分辨率下無法發(fā)現(xiàn)的特性在另一個(gè)分辨率下將很容易被發(fā)現(xiàn)。從多分辨率的角度來審視小波變換，雖然解釋小波變換的方式有很多，但這種方式能簡化數(shù)學(xué)和物理的解釋過程。

　　對(duì)于小波的應(yīng)用很多，我學(xué)習(xí)的的方向主要是圖像處理，所以這里用圖像的應(yīng)用來舉例。對(duì)于圖像，要知道量化級(jí)數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級(jí)數(shù)越高，圖像越是清晰，圖像的分辨率就高。

　　例一，哈爾小波圖像分解

　　例二， 小波去噪平滑

　　例三， 小波的邊緣檢測