有限帶寬信號的采樣和混疊分析

１引言
越來越多的應用要求采樣模擬信號，將其轉換為數字信號，對數字信號做各種計算和處理，然后再將它們轉換成模擬信號。本文討論了如何采樣模擬信號并對其整形以保持原始信號的方法。 ２　基帶信號的采樣和混疊分析 先從有限帶寬信號著手討論，有限帶寬信號是指某個頻率點（截止頻點）之外的所有頻率的頻譜成分的幅度都為０的信號。如圖１中的ｇ(ｔ)，大于截止頻點α的頻率范圍內的頻譜分量全部為０。在這種情況下，α也就是這個基帶信號的帶寬。對ｇ(ｔ)的采樣在數學上可以用以下方式表達：將ｇ(ｔ)乘以周期為Ｔ的沖激函數。ｇ(ｔ)在沖激點的信號值被采樣，而其它點的值都為０。從模擬信號角度來看，就是按頻率ｆＳＡＭＰＬＩＮＧ＝１／Ｔ對ｇ(ｔ)取樣。采樣后的信號ｓ(ｔ)可用以下公式表示：

?

?為了得到采樣后信號ｓ(ｔ)的頻譜，可對ｓ(ｔ)做傅立葉變換：

?沖激串函數是一個周期函數，可以用傅立葉級數表示，如下式：

?此處的傅立葉系數為：

?

?上式中積分的上下限只由一個周期來決定。在保證等效的前提下，可以進行以下變換：用從負無窮到正無窮的傅立葉積分代替上式中的積分，周期性的沖激函數用基頻沖激函數代替，則上式可改寫為：

?沖激串函數可用以下更方便做傅立葉變換的簡化形式表示：

?考慮到一個信號可由它的傅立葉變換積分得到，如下式：

?可得到如下最終結果 根據以上結果，再重新考慮被采樣的基頻信號，它的傅立葉變換為：

?兩個信號Ａ(ｆ)和Ｂ(ｆ)的卷積定義為： 則Ｓ(ｆ)可改寫為: 上式就是我們常說的采樣定律。它表明在時域里按周期Ｔ采樣得到的信號會以１／Ｔ 的頻率重復原始信號的頻譜，如圖２所示。 為保留所有原始信號的信息，必須保證每一個重復頻譜之間不發生混疊。否則，就不可能從采樣信號中恢復出原始信號。混疊意味著高頻段掩蓋了低頻段信號，如圖３所示。為避免混疊，必須滿足以下條件：１／Ｔ≥２α或１／Ｔ≥２ＢＷ。也可用采樣頻率表示為： ｆＳＡＭＰＬＩＮＧ≥２ＢＷ 以上表明不會產生混疊的最小采樣頻率是２ＢＷ。這就是奈奎斯特采樣定律。

?圖３給出了被混疊的采樣信號。高頻信號分量ｆＨ疊加在低頻部分。設計時，通常用一個低通濾波器來恢復原始頻譜并將其它頻譜分量濾掉。當使用截止頻率為α的低通濾波器恢復圖３信號時，它無法將混疊的高頻信號濾掉，從而造成信號的劣化。 ３　帶通信號的采樣和混疊分析 再來看另一種有限帶寬信號，帶通信號。帶通信號的低頻截止點不在０ＨＺ。圖４中的帶通信號的頻譜能量范圍在αＬ和αＵ之間，它的帶寬定義為αＵ－αＬ。帶通信號和基帶信號的主要差異就是帶寬的定義。基帶信號的帶寬等于它的高頻截止頻率，而帶通信號的帶寬等于高頻截止頻率和低頻截止頻率之差。由前面的討論可知，采樣信號以１／Ｔ 的周期重復原始信號的頻譜。因為這個頻譜實際上包括從０Ｈｚ到原始帶通信號低頻截止頻率之間的０幅值頻帶，所以實際的原始帶通信號帶寬要比αＵ小。

?這樣就可以在頻域做一定的頻率偏移，而采樣頻率也可以降低。為滿足奈奎斯特定律，一個實際帶寬為αＵ／２的原始帶通信號，其采樣頻率設為αＵ即可，采樣信號的頻譜如圖５所示。這樣的采樣沒有產生混疊，因此如果有理想的帶通濾波器，可完全恢復出原始信號。在本例中，基帶和帶通信號的差別非常重要。對于基帶信號，帶寬和相應的采樣頻率只由高頻截止點決定。而帶通信號的帶寬通常都要比高頻截止頻率小。 ４ 采樣方式及結果分析 以上特性決定了從采樣信號恢復原始信號的不同方法。對于高頻截止點相同的基帶信號和帶通信號，只要采用合適的帶通濾波器，帶通信號的采樣頻率就可以降低（圖５中的白色矩形部分）。而低通濾波器在這種情況下無法恢復出原始信號，由圖５可明顯看出，陰影部分仍然包含在恢復信號頻譜中。所以如果要用低通濾波器恢復圖５中的帶通信號，采樣頻率必須在２αＵ以上以避免混疊。有限帶寬信號必須在滿足奈奎斯特定律的情況下才能被完全恢復。對于帶通信號，用帶通濾波器時，采用奈奎斯特采樣頻率可避免混疊。否則就必須使用更高的采樣頻率。在實際應用中選擇ＡＤＣ和ＤＡＣ時，這一點很重要。 還要注意的是對有限帶寬信號的假設。從數學上分析，一個信號不可能是真正有限帶寬的。傅立葉變換定律告訴我們，如果一個信號在時域是有限的，則它的頻譜就會擴展到無窮大，如果它的帶寬是有限的，則它在時域上就是無限的。很顯然，我們找不到一個具有無窮大周期的時域信號，所以也不可能有真正的有限帶寬信號。不過絕大部分實際信號的頻譜能量都集中在有限帶寬中，因此前面的分析對這些信號仍然有效。采樣正弦信號可以非常簡單和方便地檢測出采樣頻率是否偏低，因為混疊現象是采樣頻率偏低所特有的現象。正弦信號的頻譜里的（沖激串函數）尖峰只在相應的頻率點出現，出現混疊時，尖峰會移到另一個頻率點，這一點對應著混疊信號。 以下測試結果是用Ｍａｘｉｍ公司最新推出的１２５Ｍｓｐｓ、１２位ＡＤＣ：ＭＡＸ１９５４１測試得出的。圖６是它的輸出信號頻譜，對應的輸入信號頻率ｆＩＮ＝１１．５２８４ＭＨｚ。很明顯，最高的尖峰恰好出現在該頻率點上。頻譜圖里還有其他一些較小的尖峰，它們是由ＡＤＣ的非線性引起的諧波造成的，和本文的討論主題無關。由于采樣頻率ｆＳＡＭＰＬＥ ＝ １２５ＭＨｚ，遠遠大于奈奎斯特定律要求的輸入信號頻率的２倍，因此沒有混疊現象。如果將輸入頻率提高到ｆＩＮ ＝ １８３．４８５６ＭＨｚ，大于ｆＳＡＭＰＬＥ／２，此時應該會有混疊出現。圖７是ｆＩＮ＞ｆＳＡＭＰＬＥ／２時的輸出頻譜圖，主尖峰落在５８．４８ＭＨｚ處，這就是混疊信號。也就是說，在５８．４８ＭＨｚ出現了一個原始信號不包含的信號。在圖６和圖７中都只給出了奈奎斯特頻率以下的頻譜，因為頻譜是周期性的，圖中的顯示部分已經包含了所有必要信息。 圖6和圖7

?５ 結論

以上測試結果表明?采樣定律是信號采樣應用的基本工具，嚴格的數學分析對于應用中的參數選擇也很重要。