圖1　微帶線及其等效的平板波導模型

　　為了使該等效模型能反映高階模的效應，在整個頻帶內均適用，我們考慮了等效參數的色散效應，動態等效介電常數εe(f)和等效寬度we(f)隨頻率變化的關系為［2］：

　(1)
　(2)

其中εeff和weff分別為靜態等效介電常數和等效寬度，fT是最低階模的截止頻率，定義為：

　(3)

式中c為自由空間的光速，Δw代表微帶邊緣的邊緣場效應.對于不同的寬高比w/h,Z0和εeff的表達式也不盡相同，本文采用Gupta的經驗公式［3］計算Z0,εeff和Δw.靜態等效寬度weff可由下式確定：

　(4)

計算出fT、εeff和weff后，就可根據式(1)，(2)求出不同頻率時的εe(f)和we(f)，由此可將微帶線等效為相應的平面波導模型.對于圖2所示的微帶型Rotman透鏡，其等效平板波導模型應為原透鏡的相似形.當透鏡的形狀確定后，其所有端口的寬度就可以知道，利用前述方法可求出每個端口的等效寬度，再以這些等效端口寬度作為約束條件，并保持透鏡的中心不變且等效輪廓的每一段均平行于原透鏡的相應段，求原透鏡的相似形就可得到滿足以上頻率色散效應的等效平板波導模型的輪廓，以下的分析均是針對此等效模型進行的.

圖2　Rotman透鏡示意圖

三、多模式散射參數及高階模式的處理
　　如圖2所示，Rotman透鏡的輪廓由輸入端口(波束口)，輸出端口(陣列口)及虛端口三部分組成.由于介質厚度非常小，可近似認為在垂直于導體表面的z方向場無變化，因此只有Ez,Hx和Hy三個分量不為零.由二維Hemholtz方程推得透鏡腔邊緣的電場分布可由下面的輪廓積分方程來描述［4，5］：

　(5)

其中H(2)0和H(2)1表示第二類零階和一階漢克爾函數，s和s′分別表示輪廓c上的場點和源點，r=r是從點s到s′的向量，是s′處的外法線方向，kd是介質中的波數.
　　由于透鏡形狀的任意性，須對式(5)中的圍線積分進行離散化處理.將透鏡輪廓分割為足夠多的N段，近似認為每一段為直線.令場點sm位于第m段上，源點s′n位于第n段上，根據式(5)，sm處的場可寫為：

　(6)

因為透鏡腔內只有Ez,Hx,Hy三個分量不為零，因而在與其相連的平面波導中，只有TEp0(p=0,1,2,…)模式存在，用這些正交模式函數來表示端口上的場分布(即M個模式)：

　(7)

式中Akp和Bkp分別表示在第k個端口處入射和反射的p階模，Ykp和γkp分別為其模式導納和傳播常數，wk是第k個端口的寬度，εp為紐曼常數，當p=0(對應TEM模)時，εp=1,p≠0時，εp=2.采用本地坐標系統分析各端口，則由式(7)可得下式：

　(8)

根據式(7)寫出Ez(sm)和Ez(s′n)的展開式，與式(8)一起代入式(6)可得：

　(9)

采用Galerkin法，取權函數，與上式兩邊取內積，并化簡可得：

　(10)

其中：

　(11)
　(12)

當m≠n即場點和源點位于不同區域時，上兩式的二重積分可用數值積分法方便地求得，當m=n即場點和源點位置于同一區域時，Gmnij=0，而Fmnij出現奇異性，可用變量代換結合奇異點去除法巧妙求解［6］.
　　為了便于處理高階模，需將端口序號重新排列.令主模對應的端口為1～N，高階模對應的端口按模式由低到高從N+1至N×M編號，將式(10)中的求和交換次序，并寫成一矩陣方程，可得：

CB=DA　(13)

其中矩陣C和D的元素分別為：

Ckl=(Ynj)-1(γnjFmnij-kdGmnij),
Ckk=(Ynj)-1(γnjFmnij-kdGmnij)+j2/Ymi　(14)
Dkl=(Ynj)-1(γnjFmnij+kdGmnij),
Dkk=-j2/Ymi+(Ynj)-1(γnjFmnij+kdGmnij),
　　　k=1,2,…,N×M,l=1,2,…,N×M　(15)

A、B分別代表如下的列矢量：

A=［A10A20…AN0　A11…AN1…A1M-1…ANM-1］T　(16)
B=［B10B20…BN0　B11…BN1…B1M-1…BNM-1］T　(17)

其中Akp和Bkp分別表示第k個端口第p階模的入射波和反射波.解式(13)的矩陣方程可得Rotman透鏡的多模式散射矩陣：

S=C-1D　(18)

　　通常情況下，透鏡端口通過漸變線連接到只傳輸主模的傳輸線上，端口激勵起的高階模式的能量在漸變線內不斷反射回透鏡腔，最終只有主模傳播.我們把這些凋落的高階模看作透鏡這個多端口網絡的加載.第m個端口的第i階模的特性阻抗Zm0i可用下式計算［7］：

　(19)

則第m個端口的第i階模對應的負載反射系數為：

Γ(i-1)N+m=(Zm0i-Zm0)/(Zm0i+Zm0)　(20)

其中Zm0為相應端口的等效平面波導的特性阻抗.設在所有N×M個端口中，主模對應的第1～N個端口為Ⅰ區，其余(M-1)×N個高階模式對應的端口N+1～N×M為第Ⅱ區，則由主模激勵，高階模加載的透鏡的單模散射矩陣［Sm］可由式(18)得到的多模式S矩陣的元素按下式求出［8］：

［Sm］=［SⅡ］+［SⅠ Ⅱ］{［Γ］-1-［SⅡ Ⅱ］}-1［SⅡ Ⅰ］　(21)

其中［Γ］為由高階模式端口N+1～N×M的負載反射系數組成的對角矩陣.

四、算例與討論
　　利用以上方法計算了圖3所示的32×32元Rotman透鏡，并與實驗結果做了對比.它有32個輸入端口，32個輸出端口和16個虛負載端口，焦角α=35°，掃描角β=45°，介電常數εr=2.2，基片厚度d=1mm.由于透鏡端口較多，我們只以最具代表性的邊緣波束口1和中心波束口16為例，給出透鏡在中間頻率f=12GHz下，這兩個端口激勵時輸出端口的幅度和相位分布，這些計算結果均是取4個展開模式函數得到的.

圖3　計算和實驗所用的32×32元Rotman透鏡

　　圖4(a)中方框線代表波束口1激勵時，實驗測得的輸出端口的幅度分布，圓圈線為理論計算的結果，圖4(b)為相應的相位分布.圖5(a)和5(b)分別為中心波束口16激勵時，輸出端口的幅度和相位分布.由圖可見，邊緣端口的幅度起伏比較大，而中心端口的幅度較為平穩，而無論對于邊緣端口還是中心端口，實驗結果與計算結果均吻合得很好，除個別點外，幅度誤差通常在0.5dB左右，相位誤差一般在十度以下，證明了本文方法的正確性和有效性.本例的透鏡由于焦角選擇得比較合適，因而雖然輸入端口較多，但相互之間的耦合很小，隔離較好，由表1給出的波束口1和16與其他波束口之間的隔離度即可看出這一點.

圖4　(a)輸入端口1激勵時輸出端口的幅度分布;(b)輸入端口1激勵時輸出端口的相位分布

圖5　(a)輸入端口16激勵時輸出端口的幅度分布；(b)輸入端口16激勵時輸出端口的相位分布

表1　輸入端口之間的隔離度