前面講以振子方程入手分析電磁場問題的解的時候，有網友發信息說這和天線有什么關系，怎么從振子入手分析天線；

那我就開始寫幾次關于天線的。

有一種說法是，能給任何人講懂的理論，才說明你真的懂了。

對天線部分我曾經很有信心，覺得能給任何人講懂；

因為我最多的思考是天線、所有關于振子方程、關于對電磁場問題解的理解，都是從天線出發的。

但是嘗試幾次之后發現還是很難做到；

盡管如此，我還是覺得有信心通過幾次講解，讓大部分關注這個問題的人，能對天線的基本工作過程和物理原理，有一定的理解。

我的思路是這樣的，首先通過對傳輸線中電荷或者載流子的分析，弄清楚他們基本的受力過程是怎么樣的，傳統的傳輸線為什么不能輻射。

然后是怎么破壞約束輻射的條件、或者輻射的條件是什么；怎么形成天線。

然后是天線從基本原理上的關注點，再后面是基于基本原理的一些討論。

提醒下，我更多是從物理理解的角度去看和討論天線，中間有不少自己的理解方式和看法，并且有時候為了理解方便、舍棄了一定的嚴謹性，請大家選擇接收。

02

行波和駐波

?

我們先討論信號在傳輸線中傳輸、或者說在電路中傳輸是什么樣的。

我在電磁場問題解的討論中說過，我們絕大部分問題都是從振子方程出發的和理解的；

所以先稍微回顧下基本的振子方程和它的解。

振子方程不考慮符號意義的通用數學形式為：

通解為：?

(振子方程的通解)

一個函數對變量的二次導數，等于這個函數乘以一個常數。

這個通解和振子方程的通解唯一不同，是指數項前加“±”號；

是考慮到在其它應用形式中，變量可能是空間位置，可以往前也可以往后；

而振子中這個變量是時間t，只有一個方向。

后續大部分微波電磁場問題，都是為了把方程轉換為這種形式，然后求解。

基于這樣的理解，只要看到這種形式，馬上會想到上面解的形式；

其次對每個量代表的物理意義，可以聯想到振子的情況來對應；

這樣理解起來要容易的多。

引用上面那段話是為了加強對那個常數的理解，那個常數基本上是所有波、振動、以及對應介質特性的綜合體現。

正弦交流信號在傳輸線中滿足的方程：

直接套用振子方程的解：

時間維度上已經假定是正弦信號了，所以乘在一起就是最終通解：

這兒的通解中，位置變量z前取負號，表示信號是沿正z向傳播的；

取正好表示沿負z方向傳播。

這樣沿傳輸線正向的波波為：

某一瞬間在導線中的電荷運動方向和分布如下：

導線中正z向傳遞的波

注意，導體中的載流子一般是電子，就是說負電荷；

為了分析問題方便，這兒同時用正電荷和負電荷；

因為負電荷流動，對應著缺少電荷平衡的“空穴”反向流動，所以這種假定不影響分析的結果。

我們知道，信號傳到導體的末端、或者遇到阻抗變化的位置會反射回來；

特別是，我們這兒要重點分析的是天線，就假定傳輸線末端開路；

所以傳輸線中有較多的反向電流；

這個反向電流的表達式如下：

我們說過，變量z前面符號取正是反向傳播。則這個信號某一瞬間的電荷分布如下：

導線中負z向傳遞的波

我們用同樣正向流動、電荷為負的載流子表示；

這是為了后面分析駐波的時候、理解上更直觀。

那么正負向電流同時存在的的表達式如下：

顯然是駐波形式，某一時刻的載流子分布如下：

導線中駐波載流子分布

這個結果是從正反向波疊加得到的，似乎有點突然；

下面再示意性的表示下，怎么得到這個穩態分布的。

駐波形成的過程（示意性）：

圖一：半周期正向信號

圖二：超過半周期，正向信號開始反射回來

圖三：0.75周期時的反射情況

圖四：超過0.75周期時的情況

圖五：一個周期時的情況

圖六：1.25周期情況

圖七：1.5周期情況

然后駐波形成，開始振蕩；

圖中左側是信號注入的地方，右側是導體的末端

注意，這兒是示意圖，有不嚴謹的情況；

因為穩態駐波之前的瞬態是很復雜的，載流子不會按正弦形式排著隊走的。

我們后面再嘗試分析一下瞬態的情況，現在先基于駐波往下分析，因為天線主要是在駐波下工作（當然有行波天線，但輻射的機理是一樣的）

同時說下，前面假設導線中有正負兩種載流子，是為了這樣理解方便；

我們可以認為電荷始終往一個方向走，然后到末端返回；

事實上，導線中是電子在不同位置運動方向不同，是局部來回振蕩的；

顯然那樣理解起來沒有這樣直觀。等按著這個思路捋順了、對物理過程清楚了，再回到正常狀態梳理，結論是不會變的。

至此，駐波形成，下面分析傳輸線中的駐波；以及受力分析。

03

傳輸線中的駐波

我們上面分析的是單根導線，事實上所有的傳輸線都是兩根、信號都有正負兩極的走線；

所以正常的傳輸線中的駐波應該是下面的形式。

傳輸線中的駐波

傳輸線中的兩根導線，相當于分別形成駐波兩組駐波。

圖中的四分之一波長指示，是那個位置到末端是四分之一波長，是為了后面分析Monopole天線做準備。

另外，在這個位置上下導體的電勢總為零，因為該處的正負電荷的數量總是相等；

不是圖上這個瞬間才電勢為零，是任何時間，大家自己在腦子里推移下看看，這兒不再加圖了；

同時這兒的電流不為零。電勢為零、電流不為零意味著什么？

意味著這兒的輸入阻抗為零，相當于短路。

這就是學習傳輸線的時候，說四分之一開路短截線相當于短路的物理上的原因。

下面就傳輸線中幾個特殊的時刻進行受力分析：

駐波受力分析1--電場儲能最大的瞬間

此時的瞬間照片如下圖：

在這個特殊時刻，傳輸線的每個位置，上下導體的電流都為零；

因為正向和反向移動的電荷量剛好相等；所以磁場的儲能為零、對應的電場儲能最大。

電場儲能最大的瞬間

受力和運動：波腹點B兩側全為異性電荷，水平方向的電場力最大；

在電場力的作用下，異性電荷會越過節點B注入對方區域；

注入過程導致電流產生，由此產生的磁場力（或者說磁場感生的反向電場，簡單起見稱磁場力）阻止這種注入的過程；

剛開始電荷注入對方區域的速度慢，加速度最大（正弦求導就看出來了），所以磁場力也最大；

隨著注入過程的延續，注入的速度越來越快，加速度卻越來越慢，所以磁場力也在減弱；

同時，由于注入的異性電荷的中和作用，電場力也在減弱。

能量：剛開始時A對應位置的導體間電場很強，能量主要以電場的形式存儲在A對應位置的導體間；

當電荷在水平方向電場力作用下注入異性電荷區域時

一方面，異性電荷的中和作用使得A點對應位置的導體間的電場減弱，此處以電場形式儲存的能量也隨之減少

另一方面，電場力在推動電荷運動的過程中，要不斷克服磁場力對該過程的阻止作用，電場力克服磁場力做功的過程使得電場能逐漸減小、磁場能逐漸增加，直到節點兩邊完全電中和，則電場能完全轉化為磁場能存儲在B對應位置的導體間。

大部分能量（或者說作用力）存在與導體之間，那么導體外側有沒有能量？

也有，只是來自兩個導體的力在導體外側互相抵消，使得很近的地方才有凈力的作用，遠離導體的地方這個力將變得微不足道了。

駐波受力分析2--磁場儲能最大的瞬間

此時的瞬間照片如下圖：

此時上下導線的每個位置，都出于電中和狀態，電場儲能為零、磁場儲能最大。

受力和運動：此時導體間的電場力為零，電荷的運動速度最大（電流最大），電荷運動在周圍空間產生的磁場、不允許運動馬上停止（磁場突變、意味著巨大的感應電場突然產生）；

所以運動電荷受到磁場力的作用繼續運動，結果使得導線上的電平衡再次被破壞，節點兩邊又開始積累異性電荷；

異性電荷的吸引力阻止這種繼續運動的過程，隨著異性電荷量的增加，電場的阻力越來越大，磁場也被迫產生更大的磁場力來繼續推動電荷運動；

直到某一刻、磁場力再也不能維持節點兩邊強大的電場引力時，節點兩邊異性電荷量達到最大，繼續運動過程結束，電荷速度為零。

能量：此時，導體上和導體間都達到電平衡狀態，系統的電場能為零；

電場力等于磁場力等于0；

線上的電流最大，磁場能最強；

在B點對應的導體間的空間里磁場能密度最大。

從電荷在磁場作用下繼續運動開始，磁場力不斷克服電場力做功，同時伴隨著磁場能逐漸轉化為電場能的過程。

磁場力總是試圖讓異性電荷分開，而電場力總是試圖讓異性電荷復合。

該文檔中所說的磁場力都是指由磁場產生的感應電場的作用力。

04

傳輸線中的電荷對

?

上面是整個過程的動態情況，因為電荷始終處在同步振蕩狀態，所以我們拿出兩個電荷對來簡化問題的分析。

從靜止到復合：下面是電荷對初始狀態、到運動狀態的場分析

先假定靜止狀態上下導體的一組電荷對，具體電場方向看上面的示意圖

藍線是上導體中電荷對的電場線、綠線是下導體電荷對之間的電場線。

靜電場的疊加結果使得導體外和水平方向的電場因反向被弱化，兩導體間異性電荷間的場因同向被加強（看圖示的電場方向）

最終電場絕大部分分布在不同導體的異性電荷間。

當電荷開始復合運動時，感應電場方向示意圖如上，藍色依然是上單體電流感應的磁場、綠色是下導體電流感應的磁場；

從圖示的方向可見，感應的磁場依然在兩導體間同向加強，在導體外異向抵消，使得感應電場的絕大部分依然分布在導體間。

同時，紅色線是為了阻止電荷運動的感生電場方向，也是兩個導線間比較強、而導體外是抵消的趨勢。

電荷水平方向的復合運動減弱了系統的電場勢能；

由于感應場始終阻礙電荷的復合運動，作用的結果使得消弱的電場能通過對感應電場的做功，轉化為越來越強的磁場能。

上下導體相互約束的結果，使得兩導體上電荷復合感應的磁場都集中在兩導體之間很小的區域內，與之相應的磁場能也集中在很小的區域內而不能擴散“稀釋”；

這樣，不管靜電勢能還是感應場勢能，都集中在導體間很小的區域，導體外側基本沒有場的存在，這正是傳輸線平衡系統約束電磁場的方法、或者說不能輻射的原因。

從復合到分開：下面是電荷對從分開到復合的過程如下

復合后，電場能全部轉化為磁場能，由于兩導體上電荷的約束作用，磁場集中在復合后的電荷對附近。

磁場的作用總是試圖把電荷分開；由于前一過程的電場能全部轉化為電荷附近的磁場能，能量被約束在兩根導線之間、沒有減少和“稀釋”，在該磁場的作用下，復合后的電荷對可以重新分開到復合前的程度，只是正負電荷的方向對調；

沒有外來干擾的情況下，這組電荷對將以一定的頻率永遠這樣振蕩下去。

實際的傳輸線中有很多電荷在同時進行著復合、分離的過程，每一對電荷復合、上下導體間的電場就減弱一些，同時導體間的磁場相應增強；

注意區分這里的力和能量的區別，磁場和電場對應著潛在做功的能力，或者說對應著存儲勢能，而瞬時的電場力大小對應著能量轉換速度。

并且，電荷的復合和分離的過程很可能是同時存在的，只是復合占優、還是分離占優；

我們看到的是兩者綜合作用后的宏觀結果，就像固體的溶解過程一樣。

05

空間電荷對的輻射

上面是傳輸線上的振蕩電荷受力分析，我們看到，正負兩根導線上的電荷相互作用的寄過，把整個振蕩過程中的場、始終約束在兩根導線之間，使得輻射不能發生。

如果是空間中振蕩的電荷對、情況如何呢？

如下是空間中的一個電荷對，我們分析下它的振蕩過程。

一對異性電荷在外力作用下靜止不動，空間各點的受力達到平衡。

兩電荷間有電勢能存在，注意，這里的電勢能分布在空間各點；

空間電場勢能的分布是不均勻的，兩電荷附近是勢能最集中的地方。

放開兩電荷，讓電荷在靜電引力作用下靠近；

如圖黑色小圓圈是感應磁場的方向、紅線是感應磁場感生的電場；

而紅色小圈是感生電場又感應的磁場。

在電荷復合運動過程中，感應的電場力（紅色虛線）阻止電荷的復合運動，這種阻力逐漸消耗掉兩電荷間的電勢能，消耗掉的能量轉化為空間的磁場勢能（黑色小圈）；

同時，感應電場在減弱兩電荷間電場的同時，試圖加強遠離電荷處的電場（藍色虛線和紅色虛線方向一致的位置），也就是說試圖使空間的能量分布變得平均，這也符合平衡系統的原理。

電荷復合之后，原來兩電荷的電場能，以磁場能的形式分布在空間各點。

上一過程中感應電場試圖使空間各點能量平均的努力，使得復合后電荷附近的磁場，不足以把兩電荷重新分開到復合前的程度（能量密度減弱了）。

同時，遠離該電荷對的空間中，有一定的磁場存在，如果在那兒放一電荷對的話，那兒的空間具有把這個電荷對分開到一定程度的能力。

也就是說，振蕩電荷對的能量被傳遞到遠離電荷對的地方了，這就是輻射。

如果不停的給原始電荷對輸入能量，使得它可以維持這種振蕩，則就有能量不停的傳遞出去，這就是天線輻射的過程。

同時，稍遠離電荷附近的空間，比更遠的地方有更高的能量密度，那里也存在著類似的振蕩（位移電流），也在試圖把能量平均到更遠的空間；

空間是無限的，能量永遠也不能平均，輻射不斷向前傳播。

另一方面看，能量不平均的系統是不穩定的，能量集中區域總是會自動的向低能的、更穩定的狀態轉換，這也使得源（電荷對）的能量得以不斷的輻射出去。

所以，輻射的條件可以這么講：異性電荷具有復合、分開的振蕩條件；

異性電荷對的勢能有條件分布在遠離電荷的區域。

復合過程：上面其實已經把輻射機理說完了，這兒在分析下復合過程，讓分析更完整。

上圖為復合后的狀態，由于沒有任何約束、以及上面分析的感應電場轉移作用，復合后的磁場分布在比較大的范圍內；

一部分磁場已經脫離了電荷對的控制，或者說不能再參與把電荷對重新分開的新周期中；

假設只有上面右圖藍色虛線內的磁場、參與把復合的電荷重新分開的任務中，則虛線外的場將成為輻射場永遠脫離了該系統；

而藍圈之內的場就是近場。

實際系統中，這兩部分對應著能量轉化過程的輻射能和儲能；

前面分析的傳輸線系統中的振蕩電荷對，全部的能量都是儲能；

它們只是在磁場能和電場能間轉換，沒有損失。

實際上，這是理想的電偶極子模型，可以由電偶極子的公式得到圖中的藍色虛線有多大、以及虛線內的能量和虛線為的能量的比值

06

傳輸線平衡系統的破壞--輻射

如何構造可以輻射的空間電荷對？

因為傳輸線上下導體的場、互相約束，導致場始終分布在兩個導體之間，最簡單的辦法是把上下導體“掰開”，看下面的示意圖：

這兒為了直觀和便于理解，直接把上下導體“掰開”而場分布保持不變；

是為了讓大家看清楚上下導體失去了互相約束的條件。

實際上的場分布會重新在上下導體間調整，比圖示要復雜些；

因為不影響我們要表達的結論和意思，暫時按不嚴謹的方式看。

如上圖，分開的兩導體，不再能互相約束抵消對方的電場，遠離導體的空間將有振蕩電荷的電場存在；

根據自由空間電荷對的分析知道，這種空間的電場將不停的向更遠的空間“平均”，形成輻射。

源只是用來補充每個周期損耗掉的能量，使電荷對總能保持同樣的分開幅度。

如果傳輸線上下導體不是全部“掰開”、而是少許分開，照樣可以輻射，只是上下導體中的電荷，存在部分相互約束作用（其實約束不能完全去掉，這兒比例更大了），感應場比較集中在導體附近，從而使得遠處的感應場減弱，輻射變差；

這也是輻射差的天線近場更強的原因。

任何這樣的導體都可以存在振蕩的電荷對、從而可以輻射。

天線之所以工作在諧振狀態，只不過是讓天線上有更多的電荷對同時振蕩；

每個電荷對的輻射效率是不變的，更多電荷對可以保證一個周期輻射更多的能量。

這是為啥大多數天線，都工作在諧振狀態的原因。

07

關于輻射的討論

上面分析了輻射的微觀機理，下面從其他的角度再看下這個問題

什么是輻射：

振蕩的電荷（或者交變的電流）在空間感應出變化的場，它會自發的把能量（或者場強）從比較集中的地方、向比較弱的地方轉移，轉移的結果使能量（或者場），在遠離振蕩電荷（或者交變電流）的地方得到加強（相比靜電場），那里現在具有更多、對別的電荷做功的能力，這就是輻射。

為什么會輻射：

能量不均勻的系統是不穩定的，在沒有外力干預的情況下，能量總是自發的從高能量的地方、向低能量的地方轉移，試圖達到均勻分布。

對放置在自由空間的振蕩電荷來說，空間是無窮大的，能量永遠不可能平均，所以這種轉移就會持續向更遠的空間進行，所以輻射會持續進行。

輻射是怎么進行的：

對振蕩電荷來說，能量轉移的方式是借助感應場的作用；

感應場總是弱化能量比較集中的地方的場、同時加強能量比較弱的地方的場，電場和磁場是轉移能量的媒介、同時也是能量的攜帶者。

天線：

如果把源放在場（或者能量）比較集中的地方，不斷補充因被轉移而弱化的場，這個系統就能源源不斷的向外輻射，這就是天線。

輻射的條件是什么：

輻射沒有條件，它是振蕩電荷（或者交變電流）這種不平衡系統自身的特性；

讓這樣的系統不輻射才需要條件，條件是它們感應的場不管怎么轉換，始終集中在它們周圍很小的空間內。

這需要某種約束條件，在雙線傳輸線中、是通過兩個導體中電荷的場相互作用實現的。

靜止的電荷對為什么不能輻射：

靜止的電荷對是平衡系統，肯定有外力使得電荷保持在它們靜止的位置；

這個外力抵消了能量不均勻產生的作用力、或者說抵消了試圖使能量均勻分布的自發作用力。

08

對設計天線的啟示

到此為止，基本在分析輻射的機理，沒有牽扯到天線的問題；

實際上很多天線設計的的基本需求和關注點，從輻射的機理角度能看的更清楚。

輻射場問題：

上圖是從電荷對場轉移分析的示意圖，近似的劃出了輻射場和近場。

顯然，對天線來說，要盡可能增強輻射場；如何增加輻射場？

盡可能開闊的空間，以利于場的轉移；

這是在手機等比較緊湊的設備中，天線的基本需求；

避免場的約束條件存在；

天線附近盡可能不要有其他金屬，避免形成互相約束的場分布條件

介質加載輻射場部分；

通過在輻射場部分做介質加載、增加輻射場占比

更多的電荷同時振蕩，即諧振問題，這是大部分天線是駐波天線的原因

我們看，雖然沒有介紹天線部分，通過對輻射基本機理的理解，可以很好的把天線實際需求、和物理上的意義對應起來。

09

諧振

在沒有討論天線之前，再介紹下諧振問題，因為它也和輻射的機理有很緊密的聯系。

如下是簡單模擬的諧振建立的過程。

諧振建立的過程

上圖是一個諧振建立的過程，能很好的說明諧振的作用。

藍色的線是激勵源的幅度大小，而紅色線是諧振回路中的信號幅度大小

我們看到，在剛開始的時候、諧振回路中的信號幅度比較??；

隨著多個振蕩周期的疊加，振蕩的幅度逐漸增加；

然后逐漸達到平衡。

什么時候達到平衡呢？

當每個振蕩周期輻射出去的能量、等于源每個周期能提供的能量時，諧振達到平衡，即：?

這兒的R是真正的輻射電阻的概念，是一個為了理解方便等效的量，很多人容易把天線輸入端口的輸入阻抗混為一談。

在這個過程中，每一電荷對的振蕩、都有輻射；

隨著諧振的增強，每個周期參與的電荷對逐漸增多、每一周期可以輻射出去的能量也逐漸增多。

當輻射出去的能量、等于源可以輻射出去的能量時，諧振達到平衡。

這兒用到了輻射機理分析中的如下概念：

大量的振蕩電荷同時參與輻射，所以需要諧振和駐波，駐波意味著不同位置的電荷、同時同方向振蕩……

“及時”補充因輻射而弱化的天線近場、保證最大的場梯度；

非諧振狀態某些時刻，源能量不能正好補充振蕩電荷因輻射弱化的場，這部分能量以電場能（對應容性）或磁場能（對應感性）存儲于近場；

降低了場梯度，轉移作用弱化，輻射場弱化，輻射場比例降低

審核編輯：黃飛

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