欠采樣或違反奈奎斯特(Nyquist)準(zhǔn)則是 ADC 應(yīng)用上經(jīng)常使用的一種技術(shù)。射頻(RF)通信和諸如示波器等高性能測(cè)試設(shè)備就是其中的一些實(shí)例。在這個(gè)“灰色”地帶中經(jīng)常出現(xiàn)一些困惑，如是否有必要服從 Nyquist 準(zhǔn)則，以獲取一個(gè)信號(hào)的內(nèi)容。對(duì)于 Nyquist 和 Shannon 定理的檢驗(yàn)將證明：ADC 采樣頻率的選擇與最大輸入信號(hào)頻率對(duì)輸入信號(hào)帶寬的比率有很強(qiáng)的相關(guān)性。

　　原理分析

　　Nyquist 定理被表達(dá)成各種各樣的形式，它的原意是：如果要從相等時(shí)間間隔取得的采樣點(diǎn)中，毫無(wú)失真地重建模擬信號(hào)波形，則采樣頻率必須大于或等于模擬信號(hào)中最高頻率成份的兩倍。因而對(duì)于一個(gè)最大信號(hào)頻率為 fMAX的模擬信號(hào) fa，其最小采樣頻率 fs 必須大于或等于 2×fMAX 。

　　fs ≥ 2 fMAX

　　最簡(jiǎn)單的模擬信號(hào)形式是正弦波，此時(shí)所有的信號(hào)能量都集中在一個(gè)頻率上。現(xiàn)實(shí)中，模擬信號(hào)通常具有復(fù)雜的信號(hào)波形，并帶有眾多頻率成份或諧波。例如，一個(gè)方波除了它的基頻之外，還包含有無(wú)窮多的奇次諧波。因此，根據(jù) Nyquist 定理，要從時(shí)間交叉的采樣中完整地重建一個(gè)方波，采樣頻率必須遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于方波的基頻。

　　請(qǐng)注意：當(dāng)以采樣率fs對(duì)模擬信號(hào)fa進(jìn)行采樣時(shí)，實(shí)際上產(chǎn)生了兩個(gè)混疊成份，一個(gè)位于fs+fa，另一個(gè)位于fs-fa。它的頻率域顯示在圖 1中。

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　　較高頻的混疊成份基本上不會(huì)引起問題，因?yàn)樗挥贜yquist 帶寬(fs/2)以外。較低頻的混疊成份則可能產(chǎn)生問題，因?yàn)樗赡苈湓贜yquist 帶寬之內(nèi)，破壞所需要的信號(hào)。鑒于采樣系統(tǒng)的混疊現(xiàn)象，Nyquist 準(zhǔn)則要求采樣率fs > fa，以避免混疊成份覆蓋到第一Nyquist 區(qū)。為防止有害的干擾, 任何落在感興趣的帶寬之外的信號(hào)(無(wú)論是寄生信號(hào)或是隨機(jī)噪聲)都應(yīng)該在抽樣之前進(jìn)行過濾。這就解釋了眾多采樣系統(tǒng)中，加裝抗混疊濾波器的必要性。然而，在下面關(guān)于次采樣的部分中，會(huì)表明存在著一些方法，它們可以在信號(hào)處理應(yīng)用中用到混疊現(xiàn)象的益處。

　　舉例來(lái)說(shuō)：對(duì)一個(gè)最大頻率為10MHz 信號(hào)，為了從采樣中不失真地重建模擬信號(hào)，Nyquist 規(guī)定采樣頻率 320MSPS (每秒百萬(wàn)次抽樣)。但是，我們很快能看出 Nyquist 定理的局限性。

　　Nyquist 假定所需的信息帶寬等于Nyquist帶寬或采樣頻率的一半。在圖 1所示的范例中，如果模擬信號(hào)fa帶寬小于fs/2，那么有可能用低于Nyquist的率進(jìn)行采樣，仍然能夠防止混疊現(xiàn)象的產(chǎn)生，并避免損壞所需的信號(hào)。應(yīng)該觀察到，所需最小采樣頻率實(shí)際上是輸入信號(hào)帶寬的一個(gè)函數(shù)，而不僅取決于最大頻率成份。

　　Shannon定理進(jìn)一步驗(yàn)證了這一結(jié)論。Shannon定理是制指，一個(gè)帶寬為fb的模擬信號(hào)，采樣速率必須為 fs > 2fb，才能避免信息的損失。信號(hào)帶寬可以從 DC 到fb(基帶采樣)，或從f1到f2，其中fb = f2-f1(欠采樣)。

　　因此，Shannon 定理表示：實(shí)際所需最小采樣頻率是信號(hào)帶寬的函數(shù)，而不僅取決于它的最大頻率成份。通常來(lái)說(shuō)，采樣頻率至少必須是信號(hào)帶寬的兩倍，并且被采樣的信號(hào)不能是 fs/2 的整數(shù)倍，以防止混疊成份的相互重疊。注意，fMAX(模擬信號(hào)的最大頻率成份)對(duì)于信號(hào)帶寬 B 的大比例最小采樣頻率接近 2B。

　　在許多應(yīng)用中，這大大地減少了對(duì)ADC的要求。對(duì)一個(gè)具有150MHz最大信號(hào)頻率，但只有10MHz 帶寬的信號(hào)進(jìn)行采樣，可能只需要一個(gè)約22MSPS的ADC，而不是Nyquist規(guī)定的大于300MSPS的 ADC。

　　例如，考慮一個(gè)帶寬為 10MHz、位于160MHz~170MHz頻譜范圍內(nèi)的信號(hào)。假定按照 Shannon 定理要 30MSPS 的采樣率，由于采樣過程會(huì)產(chǎn)生附帶的采樣頻率，它們是 30MHz 的整數(shù)倍，也就是 60MHz(2fs)、90MHz (3fs). 180MHz 等。介于 160MHz 和 170MHz 之間的所需信號(hào)，在這些采樣頻率的每個(gè)諧波(fs、2fs、3fs等)附近都產(chǎn)生混疊。注意：任何一個(gè)混疊成份都是原始信號(hào)的一個(gè)準(zhǔn)確表述。30MSPS 采樣使得 160MHz~170MHz 的信號(hào)被折返到 0~10MHz 的第一Nyquist區(qū)。

　　從本例中還應(yīng)注意到：可能存在于 ADC 輸出 FFT 中的最高頻率成份小于或等于采樣頻率的一半。或者說(shuō)，由于諧波折返或欠采樣，每一個(gè)位于 Nyquist 帶寬之外的ADC輸入頻率成份總被折返到第一Nyquist 區(qū)。這可由下列等式表示。而次采樣在實(shí)用電子系統(tǒng)有許多用途。最常見的欠采樣應(yīng)用是在數(shù)字接收器中。

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　　首先讓我們更詳細(xì)地解釋次抽樣的過程。次抽樣或折返的過程可以看作是 ADC 輸入信號(hào)與采樣頻率和其諧波的混合。這意味著，許多頻率可以混合為DC，而不再能確認(rèn)它們的原始頻率。舉一個(gè)66MSPS采樣頻率的例子，則所有輸入信號(hào)(66-6、66+6、126、136MHz 等等)頻率混合為 6MHz，見圖2。每個(gè)采樣映象折返到小于fs /2。請(qǐng)注意，圖2虛線處將發(fā)生相位翻轉(zhuǎn)，但這些成份可在軟件中去除。如果必須在ADC輸出處確定原始的輸入頻率，則無(wú)法使用次采樣。因?yàn)檫@違反了Nyquist準(zhǔn)則。如果在 ADC 輸出處無(wú)需確定載波頻率，次采樣仍然證明有效。這適用于許多通信系統(tǒng)，如手機(jī)基站接收器，因?yàn)榻邮掌髦恍杌謴?fù)載波上的信息，而不是載波本身。

　　射頻數(shù)字接收器實(shí)例

　　以使用一個(gè)射頻載波頻率 900MHz(歐洲)和 1800MHz(美國(guó))的 GSM/EDGE 基站為例。一個(gè)移動(dòng)基站接收電路類似圖3所示。高頻射頻載波信號(hào)首先在混頻器和本振級(jí)下變頻為一個(gè)范圍150MHz~190MHz 的中頻，供模擬/數(shù)字的轉(zhuǎn)換使用。前述 Shannon 定理顯示，所必需的采樣頻率是信號(hào)帶寬的函數(shù)，在GSM/EDGE系統(tǒng)中帶寬為200kHz。GSM系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍規(guī)格需要最小10位精度的 ADC，雖然實(shí)際都使用12位精度。市面上有大量的高速 ADC 可供選擇，數(shù)字接收器的系統(tǒng)設(shè)計(jì)師選擇器件時(shí)必須考慮系統(tǒng)動(dòng)態(tài)范圍要求以及器件的成本。由于這些原因，對(duì)于GSM接收器應(yīng)用，50MSPS~70MSPS采樣率的ADC是最常見的選擇。雖然在66MSPS時(shí)150MHz~190 MHz信號(hào)為欠采樣，對(duì)于需要的200kHz信息帶寬，并沒有違反 Nyquist 準(zhǔn)則。這種選擇為200kHz的帶寬信息信號(hào)提供了足夠大的空間，同時(shí)提供了超過20dB的處理增益。請(qǐng)注意，由于種種原因，繼續(xù)增加采樣頻率來(lái)不斷提高處理增益的方法是不切實(shí)際的。市面上有更高采樣率的12位ADC，譬如12位80MSPS的ADC(美國(guó)國(guó)家半導(dǎo)體 ADC12L080)，以及一些大于100MSPS的12位專用ADC，但低于100MSPS 和高于 100MSPS 采樣率 ADC 之間的成本差別相當(dāng)大。

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　　處理增益

　　ADC噪聲特性通常由熱噪聲所限制，當(dāng)選定ADC時(shí)，其噪聲帶寬通常被定義作Nyquist帶寬。在fs = 66MSPS時(shí)，總噪聲底限的測(cè)量表示為相對(duì)于某一輸入信號(hào)頻率處一個(gè)33MHz帶寬內(nèi)全量程(dBFS)的dB值。但是對(duì)ADC輸出進(jìn)行過濾后，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)更窄的帶寬。濾波過程提供的噪聲處理增益是帶寬減少量的函數(shù)。200kHz 的信道濾波器可獲得如下的處理增益：

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　　上式假設(shè) ADC 輸出的濾波器去除了混疊映象和fs附近的噪聲。

　　這樣，200kHz 帶寬內(nèi)的 ADC 輸出噪聲變成：

　　-62dBFS + (-25.2dB ) = -87.2dBFS.

　　當(dāng)為某個(gè)應(yīng)用選擇正確采樣率的ADC時(shí)，不光要知道最高模擬轉(zhuǎn)換頻率這一個(gè)參數(shù)。Shannon 定理顯示，信號(hào)帶寬同等重要。我們發(fā)現(xiàn)，高于 Shannon 速率的采樣還有其它的好處，如處理增益可以極大地改善動(dòng)態(tài)范圍。系統(tǒng)設(shè)計(jì)師掌握了這一知識(shí)，就能在通用且價(jià)格合理的標(biāo)準(zhǔn) ADC 中，正確地選擇 ADC 采樣頻率和精度。

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