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解決幾何變換的一般思路
圖像幾何變換又稱為圖像空間變換， 它將一幅圖像中的坐標位置映射到另一幅圖像中的新坐標位置． 我們學習幾何變換的關鍵就是要確定這種空間映射關系， 以及映射過程中的變換參數。
幾何變換不改變圖像的像素值， 只是在圖像平面上進行像素的重新安排。一個幾何變換需要兩部分運算：首先是空問變換所需的運算， 如平移、旋轉和鏡像等， 需要用它來表示輸出圖像與輸入圖像之間的〈像素〉映射關系：此外， 還需要使用灰度插值算法， 因為按照這種變換關系進行計算， 輸出圖像的像素可能被映射到輸入圖像的非整數坐標上。
主要有以下內容：
·圖像的平移變換
·圖像的鏡像變換
·圖像的轉置變換
·圖像的旋轉變換
·圖像的縮放
1、圖像的平移變換
在進行書寫matlab代碼之前，先來了解一下圖像平移的理論基礎。設圖像的高度為H，寬度為W，如下所示：
我們知道，圖像是由像素組成的，而像素的集合就相當于一個二維的矩陣，每一個像素都有一個“位置”，也就是像素都有一個坐標。假設原來的像素的位置坐標為（x0，y0），經過平移量（△x，△y）后，坐標變為（x1，y1），如下所示：
?
用數學式子表示可以表示為：
x1 = x0 + △x，
y1 = y0 + △y；
用矩陣表示為：
?
本來使用二維矩陣就可以了的，但是為了適應像素、拓展適應性，這里使用三位的向量。
式子中，矩陣：
?
稱為平移變換矩陣（因子），△x和△y為平移量。
此外，我們也知道了，圖像的高度H其實也就是像素的行數，對于坐標1≤X≤H；圖像的長度也就是像素的列數，對應坐標1≤Y≤W。
上面是理論基礎，下面我們就用matlab實現一下圖像的平移變換，相應的matlab代碼如下所示：
close all ;
clear all ;
clc ;
im = imread（‘F:/圖像處理/Koala.jpg’）;%讀入一幅圖
［H，W，Z］ = size（im）; % 獲取圖像大小，H為垂直方向768點，W為水平方向1024點
I=im2double（im）;%將圖像類型轉換成雙精度
res = ones（H，W，Z）; % 構造結果矩陣。每個像素點默認初始化為1（白色）
delX = 50; % 平移量X
delY = 100; % 平移量Y
tras = ［1 0 delX; 0 1 delY; 0 0 1］; % 平移的變換矩陣
for x0 = 1 ： H%第1行到第768行
for y0 = 1 ： W%第1列到第1024列
temp = ［x0; y0; 1］;%將每一點的位置進行緩存，1行1列，1行2列···1行1024列
temp = tras * temp; % 根據算法進行，矩陣乘法：轉換矩陣乘以原像素位置
x1 = temp（1， 1）;%新的像素x1位置，也就是新的行位置（從1~768）
y1 = temp（2， 1）;%新的像素y1位置，也就是新的列位置（從1~1024）
% 變換后的位置判斷是否越界
if （x1 《= H） & （y1 《= W） & （x1 》= 1） & （y1 》= 1）%新的行位置要小于新的列位置
res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%進行圖像平移，顏色賦值
end
end
end;
set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%設置窗口大小
set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%設置窗口顏色
figure;%打開一個窗口，用來顯示（多幅）圖像
subplot（1，2，1）， imshow（I），axis on ;%顯示圖片，一行兩列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（res），axis on;%顯示圖片，一行兩列，第二幅
我們先來看一下效果，然后著重分析一下代碼，效果如下所示：
?
然后下面我們分析一下關鍵的代碼：
讀入圖像之后，得到im，我們可以看到im是一個三維的變量，包括了像素的位置（高度（即垂直長度）和寬度（即水平長度）），像素的顏色。（注，24位真彩圖：也是用矩陣表示，圖像像素直接用RGB顏色顯示，而不是通過顏色索引表。圖像像素的顏色用三個變量表示即（R，G，B），每個變量從0~255變化，因此一個像素也就是8bit*3=24bit，一個像素用24bit表示可以有2^24種顏色。）我們可以看到會有unit8，就是8bit的原因。
然后我們獲取圖像的大小，用H，W，Z三個變量接收，其中H接收了圖片的高度（也就是垂直長度），W接收了圖片的寬度（水平長度），然后Z接收了圖片的顏色值。
然后我們將圖像轉換成雙精度類型I，這是因為使用雙精度可以仿真在轉換過程中發生精度損失的問題，也是方便我們進行轉換。轉換之后，我們可以看到unit8的類型別我們轉換成了double類型。
接著，我們構造一個圖像res矩陣，這個圖像首先進行歸一化，也就是讓里面的元素全部為1，對于圖像，就是一張白色的圖片了。這個圖像主要是用來“保存”我們進行位移后的圖像。
然后我們就設置平移量、構造平移變換矩陣。這個矩陣我們根據前面的理論部分可以得到。
接著便是重點了，進行平移變換。我們來一句一句解讀這個循環。當x0=1，y0=1時，得到第一個像素的位置，也就是（x0，y0）這個像素，然后將這個像素位置進行緩存，也就是構造一個矩陣temp，即理論中的：
?
然后進行位置轉換，也就是進行矩陣相乘，用變換矩陣乘以原像素矩陣，得到了變換后像素矩陣：
?
? ? ? 接著，我們需要把變換后的像素位置“提取”出來，用x1，y1進行存儲；為什么要獲取位置呢？這是因為我們要判斷這個像素是否越界了，也就是進行平移之后，得到的這個像素位置是否還存在顯示區域里面，也就是我們的
if （x 《= H） & （y 《= W） & （x 》= 1） & （y 》= 1） 語句
當還在顯示區域里面時，我們要進行移位顯示：
res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%進行圖像平移，顏色賦值
這個語句的含義是，把I中的RGB值（也就是顏色值）賦值給res，也就是說，前面矩陣相乘只是移動的像素位置，但是顏色沒有進行移動，這里進行圖像顏色的平移，當x0=1，y0=1時，把該點的位置圖像顏色進行移動過去。
當x0=1，y0=2時，移動第二點。我們可以看到，這里的代碼是：從左到右平移，也就是先進行寬度的平移；從上到下，進行高度的平移。當兩個循環完成之后，圖像也就像平移完成了。
最后的代碼就是顯示圖像了，其中axis on 的意思是打開左邊，方便我們進行查看平移后的位置。從上面的效果我們可以得到，delx表示的高度的平移量，delx為正值時往下平移，delx為負值時往上平移；而dely表示的寬度的平移量，正值往右平移，負值往左平移。
2、圖像的鏡像變換
圖像的鏡像變換分為水平鏡像和垂直鏡像，下面分別進行這兩種鏡像的介紹，首先說明一下，無論是水平鏡像還是垂直鏡像，鏡像后高度和寬度都不變。
?
H圖像的高度，關聯x W：圖像的寬度，關聯y
·水平鏡像操作：以原圖像的垂直中軸線為中心，將圖像分為左右兩部分進行對稱變換。示意圖如下所示
?
水平鏡像中，原圖中的（x0，y0）經過水平鏡像后，坐標變成了（x0，W-y0），用數學公式表達就是：
x1 = x0，
y1 = W-y0 ;
寫成矩陣就是：
?
也就是說，水平鏡像變換矩陣（因子）為：
?
用matlab代碼實現如下所示：
?
代碼已經沒有什么好介紹的了，跟前面的平移差不多，只不過變換矩陣是水平鏡像變化矩陣，得到的效果如下所示：a2
·垂直鏡像操作：以原圖像的水平中軸線為中心，將圖像分為上下兩部分進行對稱變換。示意圖如下所示：
?
垂直鏡像中，原圖中的（x0，y0）經過垂直鏡像后，坐標變成了（H-x0，y0），用數學公式表達就是：
x1 = H - x0，
y1 = y0 ;
寫成矩陣就是：
?
也就是說，垂直鏡像變換矩陣（因子）為：
?
用matlab代碼實現如下所示：
close all ;
clear all ;
clc ;
im = imread（‘F:/圖像處理/Koala.jpg’）;%讀入一幅圖
［H，W，Z］ = size（im）; % 獲取圖像大小，H為垂直方向768點，W為水平方向1024點
I=im2double（im）;%將圖像類型轉換成雙精度
res = ones（H，W，Z）; % 構造結果矩陣。每個像素點默認初始化為1（白色）
tras = ［-1 0 H; 0 1 0; 0 0 1］; % 垂直鏡像的變換矩陣
for x0 = 1 ： H%第1行到第768行
for y0 = 1 ： W%第1列到第1024列
temp = ［x0; y0; 1］;%將每一點的位置進行緩存，1行1列，1行2列···1行1024列
temp = tras * temp; % 根據算法進行，矩陣乘法：轉換矩陣乘以原像素位置
x1 = temp（1， 1）;%新的像素x1位置，也就是新的行位置（從1~768）
y1 = temp（2， 1）;%新的像素y1位置，也就是新的列位置（從1~1024）
% 變換后的位置判斷是否越界
if （x1 《= H） & （y1 《= W） & （x1 》= 1） & （y1 》= 1）%新的行位置要小于新的列位置
res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%進行顏色賦值
end
end
end;
set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%設置窗口大小
set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%設置窗口顏色
figure;%打開一個窗口，用來顯示（多幅）圖像
subplot（1，2，1）， imshow（I），axis on ;%顯示圖片，一行兩列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（res），axis on;%顯示圖片，一行兩列，第二幅
代碼實現的效果如下所示：
? ? ? ?3、圖像的轉置變換
圖像的轉置就是將圖像像素的x坐標和y坐標互換。這樣將改變圖像的高度和寬度，轉置后圖像的高度和寬度也將互換。
圖像的轉置用數學公式描述就是：
x1 = y0，
y1 = x0;
寫出矩陣如下所示：
?
用matlab實現的代碼如下所示：
close all ;
clear all ;
clc ;
im = imread（‘F:/圖像處理/Koala.jpg’）;%讀入一幅圖
［H，W，Z］ = size（im）; % 獲取圖像大小，H為垂直方向768點，W為水平方向1024點
I=im2double（im）;%將圖像類型轉換成雙精度
res = ones（H，W，Z）; % 構造結果矩陣。每個像素點默認初始化為1（白色）
tras = ［0 1 0; 1 0 0; 0 0 1］; % 轉置的變換矩陣
for x0 = 1 ： H%第1行到第768行
for y0 = 1 ： W%第1列到第1024列
temp = ［x0; y0; 1］;%將每一點的位置進行緩存，1行1列，1行2列···1行1024列
temp = tras * temp; % 根據算法進行，矩陣乘法：轉換矩陣乘以原像素位置
x1 = temp（1， 1）;%新的像素x1位置，也就是新的行位置（從1~768）
y1 = temp（2， 1）;%新的像素y1位置，也就是新的列位置（從1~1024）
% 變換后的位置判斷是否越界
if （x1 《= H） & （y1 《= W） & （x1 》= 1） & （y1 》= 1）%新的行位置要小于新的列位置
res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%進行圖像顏色賦值
end
end
end;
set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%設置窗口大小
set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%設置窗口顏色
figure;%打開一個窗口，用來顯示（多幅）圖像
subplot（1，2，1）， imshow（I），axis on ;%顯示圖片，一行兩列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（res），axis on;%顯示圖片，一行兩列，第二幅
實現的效果如下所示：
? ? 4、圖像的旋轉
一般情況下，旋轉操作會有一個旋轉中心，這個旋轉中心一般為圖像的中心，旋轉之后圖像的大小一般會發生改變。圖像像素原來的坐標為（x0，y0），（順時針）選擇Θ角度后得到（x1，y1），用數學公式表達如下所示：
x1 = x0·cosΘ + y0·sinΘ，
y1 = -x0·sinΘ + y0·cosΘ；
用矩陣表示如下所示：
?
matlab中有直接實現圖像旋轉的函數，整理我們就直接使用圖像的旋轉函數，代碼如下所示：
?
這里主要是說明一下imrotate函數，這個函數就是對圖像旋轉的函數，輸入是圖像和旋轉的角度，角度為正值時，逆時針旋轉；角度為負值時，順時針選擇。代碼實現的效果如下所示：
? ? ? ?5、圖像的縮放
下面值來介紹一下圖像的縮放主要是根據函數imresize來實現的，我們先來看看代碼和效果圖，然后分析圖像的縮放函數。代碼和效果圖像所示：
close all ;
clear all ;
clc ;
［im，map］ = imread（‘Hydrangeas.bmp’）;%讀入圖片
im0 = imresize（im，0.26）;%進行縮放到原來的0.26倍
im1 = imresize（im，1）;%縮放原來的比例
im2 = imresize（im，3.5）;%進行縮放到原來的3.5倍
im3 = imresize（im，［64 40］）;%進行圖像的縮放并設置圖像的行列
im4 = imresize（im，1.6，‘bilinear’）;%進行線性插值實現縮放
im5 = imresize（im，1.6，‘triangle’）;
set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%設置窗口大小
set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%設置窗口顏色
figure;%打開一個窗口，用來顯示（多幅）圖像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im0，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅
figure;%打開一個窗口，用來顯示（多幅）圖像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im1，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅
figure;%打開一個窗口，用來顯示（多幅）圖像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im2，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅
figure;%打開一個窗口，用來顯示（多幅）圖像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im3，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅
figure;%打開一個窗口，用來顯示（多幅）圖像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im4，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅
figure;%打開一個窗口，用來顯示（多幅）圖像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im5，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅
縮?。?/p>
?
等大：
?
放大
?
縮放并且設置行列：
?
線性插值：
?
? ? ? ?
下面介紹一下imresize函數的使用信息（可以通過在matlab 使用help imresize查看）：
該函數主要用來調整圖像大小。
B = imresize（A，SCALE）返回一個圖像，大小是原來的SCALE倍；A是灰度、RGB或者二進制圖像。
B = imresize（A，［NUMROWS NUMCOLS］）調整圖像大小，使其具有指定數量的行和列。 NUMROWS或NUMCOLS可能都是NaN，在這種情況下，將自動計算行數或列數，以便保留圖像寬高比。
［Y，NEWMAP］ = imresize（X，MAP，SCALE）調整索引圖像的大小，其中按照SCALE的倍數對原圖像進行調整。
［Y，NEWMAP］ = imresize（X，MAP，［NUMROWS NUMCOLS］）調整索引圖像的大小，通過調整行數和列數進行調整。
要控制imresize使用的插值方法，可以在上面的語法中添加一個METHOD參數，如下所示：
（A，SCALE，METHOD）
（A，［NUMROWS NUMCOLS］，METHOD），
imresize（X，MAP，M，METHOD）
imresize（X，MAP，［NUMROWS NUMCOLS］，METHOD）
METHOD可以是一個命名一般插值方法的字符串：
‘nearest’ - 最近鄰插值
‘bilinear’ - 雙線性插值
‘bicubic’ - 三次插值;默認方法
METHOD也可以是一個命名插值內核的字符串：
‘box’ - 用盒形內核插值
‘triangle’ - 三角形內核插值 （相當于“雙線性”）
‘cubic’ - 用立方核插值 （相當于“bicubic”）
‘lanczos2’ - 用Lanczos-2內核插值
‘lanczos3’ - 插入Lanczos-3內核
最后，METHOD可以是{f，w}形式的雙元素單元陣列，其中f是自定義內插內核的處理函數，w是自定義內核的寬度。在區間-w / 2 《= x 《w / 2之外，f（x）必須為零。可以使用標量或向量輸入來調用處理函數f。
可以通過使用上述任何語法之后的參數/值對來實現對imresize的附加控制。例如：
B = imresize（A，SCALE，PARAM1，VALUE1，PARAM2，VALUE2，。..）
參數包括：
‘Antialiasing’- 真假指定縮小圖像時是否執行抗鋸齒。默認值取決于您選擇的插值方法。對于‘nearest’ METHOD參數，默認值為false;對于所有其他方法，默認值為true。
‘Colormap’ - （僅與索引圖像相關） ‘original’ 或 ‘optimized’;如果‘original’ ，則輸出newmap與輸入圖相同。如果是“優化”，則會創建一個新的優化顏色映射。默認值為“optimized”。
‘Dither’ - （僅適用于索引圖像）true或false; 指定是否執行顏色抖動。默認值為true。
‘Method’ - 如上所述
‘OutputSize’ - 一個雙元素向量［MROWS NCOLS］， 指定輸出大小。一個元素可以是NaN，在這種情況下，自動計算另一個值以保留圖像的寬高比。
‘Scale’ - 一個標量或兩元素向量，指定調整大小的比例因子。如果它是標量，則將相同的比例因子應用于每個維度。如果它是向量，它分別包含行和列尺寸的比例因子。
例子：
使用默認的雙三次插值和抗混疊縮小兩倍：
I = imread（‘rice.png’）;
J = imresize（I，0.5）;
figure，imshow（I）， figure，imshow（J）
使用最近鄰內插收縮因子2。 （這是最快的方法，但質量最差）：
J2 = imresize（I，0.5，‘nearest’）;
調整索引圖像的大小：
［X，map］ = imread（‘trees.tif’）;
［Y，newmap］ = imresize（X，map，0.5）;
imshow（Y，newmap）
調整RGB圖像的大小以獲得64行，自動計算列數：
RGB = imread（‘peppers.png’）;
RGB2 = imresize（RGB，［64 NaN］）;
圖像的幾何變化差不多就到這里了，matlab中有很多函數可以實現圖像的幾何變換，這里就不詳細說明了。
工商網監
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