Curvelet變換是基于傅里葉變換和小波變換的一種改進，其特點是有高度的各向異性，具有良好表達圖形沿邊緣的信息的能力，對于恢復形狀的沿邊緣的主要結構和抑制周邊噪聲有其特有優勢。

　　其過程為

　　這和傳統的DFT及小波變換的處理過程類似，把圖表中的curvelet換成DFT和wavelet就可以了。

　　Curvelet變換是最近圖像處理較新的一種多尺度幾何變換算法。其發展歷程在短短十年間：

　　1999年，Candès和Donoho在Ridgelet變換的基礎上提出了連續曲波（Curvelet）變換——第一代Curvelet變換中的Curvelet99。

　　2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet變換中的Curvelet02。

　　2002年，Candès等人提出了第二代Curvelet變換。

　　2005年，Candès提出了兩種基于第二代Curvelet變換理論的快速離散實現方法：

　　1）非均勻空間抽樣的二維FFT算法（Unequally-Spaced Fast Fourier Transform，USFFT）；

　　2）Wrap算法（Wrapping-Based Transform）

　　與小波變換類似，Curvelet變換同樣有其對應公式。Curvelet系數可由下式得到，即信號與小波函數內積：

　　這里j表示尺度，l表示方向，k表示位移。變換的推導以及原理是個十分復雜的過程，這需要有相當強的數學功底。

　　Curvelet變換原理

　　Curvelet 變換通過對Radon 域內的每一個投影軸作一維小波分析，并由局部脊波分析得到多尺度結構。設參量θ是常數，平移量1是變量，脊波系數R，（a，b，θ）為

　　然后對每個分塊用式（1，2）進行脊波分析。上面每步均可逆，經過逆變換可得重建圖像。

　　通過Radon域的多角度投影，Curvelet變換明顯加強了目標邊界。同時由于Curvelet變換是多尺度脊波變換的子集，它可以用投影切片定理來實現：一幅n×n的圖像可表達成2n條徑向線的積分結果，對每條線的投影數據計算一維小波變換，就得到脊波系數。這樣的Curvelet變換冗余因子達到16J+1。由于經典算法中分塊的徑向抽樣角度恒定，直角坐標與極坐標的轉換將導致在同一塊內數據的非均勻抽樣，當塊中心附近的抽樣值滿足奈奎斯特抽樣定理要求時，在塊的邊界部分將出現欠抽樣;而當塊邊界部分滿足抽樣定理要求時，塊中心部分數據將會過抽樣，而且塊的尺寸越大，非均勻抽樣的影響就越明顯。因此，在原算法中盡管離散Curvelet變換的實現較簡單，但是為了無失真地重構圖像，保證塊邊界周圍的抽樣值足夠多，它在塊的中心部分實施了過抽樣，因此耗時和冗余度也相應增大。

　　下面是對Curvelet變換的理解：

　　在時間域：Curvelet變換可以看做是一個橢圓以內積形式依次覆蓋整個矩陣（指要變換的矩陣），這個圖在很多地方都出現過。就我個人的理解詳細解釋下。

　　這里的橢圓就是Curvelet變換的窗口，相當于小波變換的基函數。其長軸與短軸關系為平方關系，其窗口大小視尺度j而定。與二維小波變換最大的優勢在于Curvelet變換具有方向性。就是在尺度j下，橢圓做完整個矩陣的內積后（即依次覆蓋完整個矩陣），可得到一組系數。然后將橢圓進行旋轉適當的角度a再與矩陣做內積得到a角度的Curvelet系數。這樣將橢圓進行多次旋轉，每旋轉一個角度就能得到尺度j一個方向的系數矩陣。在尺度j下做L次旋轉，那么尺度j下就產生L個角度的系數矩陣。做完尺度j了接下來做尺度j+1下所有角度，方法同上。

　　如一幅圖像上有一段弧，橢圓長軸沿著弧方向做覆蓋內積得到的系數就大。這樣就適合做圖像邊緣檢測。

　　對于Curvelet變換的Matlab程序包curvlab可在網上下載。Curvlab包里有Curvelet的快速離散算法的Matlab程序和C++程序。

　　將其添加在Matlab里面：File -》 set path

　　Add Folder 添加好curvlab里相關*. M文件的路徑。

　　這時在Matlab里面使用Curvelet的快速變換及反變換函數：

　　fdct_usfft（）

　　ifdct_usfft（）

　　fdct_wrapping（）

　　ifdct_wrapping（）

　　在Matlab中Curvelet變換后返回的是一個cell矩陣。這個矩陣裝著各個尺度、各個方向的系數值。

　　C= fdct_usfft（***）；

　　C{j}表示一個cell矩陣，裝著尺度j上所有方向的系數。

　　C{j}{l}就表示是一個二維矩陣，表示尺度j，方向l上的所有系數，

　　一般尺度越高，其對應的都是高頻系數。

　　curvelet matlab示例代碼理解

　　1. fdct_wrapping

　　function C = fdct_wrapping（x， is_real， finest， nbscales， nbangles_coarse）

　　% fdct_wrapping.m - Fast Discrete Curvelet Transform via wedge wrapping - Version 1.0

　　%

　　% Inputs

　　% x M-by-N matrix 輸入為MxN的矩陣

　　%

　　% Optional Inputs

　　% is_real Type of the transform 轉化的類型

　　% 0： complex-valued curvelets 復數值的曲波變化

　　% 1： real-valued curvelets 實數值的曲波變化

　　% ［default set to 0］ 默認設置為0

　　% finest Chooses one of two possibilities for the coefficients at the

　　% finest level： 選擇一種表示方式計算最優級的系數

　　% 1： curvelets 曲波變化

　　% 2： wavelets 小波變化

　　% ［default set to 2］ 默認設置為2

　　% nbscales number of scales including the coarsest wavelet level

　　% 包含最粗小波級在內的伸縮數

　　% ［default set to ceil（log2（min（M，N）） - 3）］

　　% nbangles_coarse

　　% number of angles at the 2nd coarsest level， minimum 8，

　　% 第二粗糙級的角度數，最小為8

　　% must be a multiple of 4. ［default set to 16］

　　% 必須為4的倍數，默認為16

　　% Outputs

　　% C Cell array of curvelet coefficients.

　　% C{j}{l}（k1，k2） is the coefficient at

　　% - scale j： integer， from finest to coarsest scale，

　　% 從最佳尺度到最粗尺度

　　% - angle l： integer， starts at the top-left corner and

　　% increases clockwise，

　　% 從左上角開始順時針增長

　　% - position k1，k2： both integers， size varies with j

　　% and l.

　　% If is_real is 1， there are two types of curvelets，

　　% ‘cosine’ and ‘sine’。 For a given scale j， the ‘cosine’

　　% coefficients are stored in the first two quadrants （low

　　% values of l）， the ‘sine’ coefficients in the last two

　　% quadrants （high values of l）。

　　%

　　% See also ifdct_wrapping.m， fdct_wrapping_param.m

　　%

　　% By Laurent Demanet， 200412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243

　　2. DCT基本示例代碼理解

　　% fdct_wrapping_demo_basic.m -- Displays a curvelet both in the spatial and frequency domains.

　　m = 1024;

　　n = 1024;

　　X = zeros（m，n）;

　　%forward curvelet transform

　　disp（‘Take curvelet transform： fdct_wrapping’）;

　　tic; C = fdct_wrapping（X，0，2，8，64）; toc; %tic toc配合使用測量程序運行時間

　　%specify one curvelet

　　s = 7; %從1開始增大，空間域變細，頻率域變粗

　　w = 10;%從1（左上角）開始增大，空間域順時針旋轉，與笛卡爾corona相對應

　　［A，B］ = size（C{s}{w}）;%尺度為s，方向為w，的矩陣大小

　　a = ceil（（A+1）/2）;

　　b = ceil（（B+1）/5）;

　　C{s}{w}（a，b） = 1; %該尺度、方向中心位置元素設置為1

　　%adjoint curvelet transform

　　disp（‘Take adjoint curvelet transform： ifdct_wrapping’）;

　　tic; Y = ifdct_wrapping（C，0）; toc;%進行反曲波變化，得到空間域圖像

　　%display the curvelet

　　F = ifftshift（fft2（fftshift（Y）））;

　　subplot（1，2，1）; colormap gray; imagesc（real（Y））; axis（‘image’）; 。。。

　　title（‘a curvelet： spatial viewpoint’）;

　　subplot（1，2，2）; colormap gray; imagesc（abs（F））; axis（‘image’）; 。。。

　　title（‘a curvelet： frequency viewpoint’）;

　　%get parameters

　　［SX，SY，FX，FY，NX，NY］ = fdct_wrapping_param（C）;