從數學的角度，提供一個形象有趣的解釋。理解傅里葉變換的鑰匙是理解基♂，它能讓你重新認識世界。

　　1. 什么是基？

　　假設一個科研所有四個所長（一正三副），四個所長各司其職，把整個科研所的事物管理得井井有條。這四個所長，少一個，單位的工作無法順利展開，多一個礙手礙腳事倍功半，他們四人一道就組成了科研所的一個“基”。

　　一個單位的基可能不是唯一的，四個人換換位置工作也能展開，調走一個人再換一個人來頂替，單位亦可以正常運轉，但是4這個數是不能變化的（數學語言：空間的維數固定不變）。

　　總結：一組基，就是足夠能描述、表達某類事物的最少的一小撮元素們。

　　2. 基只有一種形式嗎？

　　我們把科研所的日常事務換成感情，把四個所長換成語言字典重新來敘述。

　　假設你愛上了一個人，需要向她表達感情。這時就需要一套表達感情的工具——語言。如果使用漢語，你可以說“我愛你”，如果使用英文，你可以說“I love you”。漢語的所有詞匯構成了一個集合，英語的所有詞匯也構成了一個集合，它們都可以描述感情、感覺、事物和知識，它們是兩套不同的描述系統，分別有自己的基。

　　總結：描述事物的基可以有很多套。

　　3. 如何構造一組基？

　　漢語的詞匯量很大，有很多重復意義的詞，比如我愛你就可以重新表述為：“俺愛你”，“我愛儂”，“我想和你困覺”等等。我們把漢語詞匯中所有同意的詞只保留一個（數學語言：使線性無關），留下來的詞匯量較少的詞典就是漢語的一個基，里面的每一個詞被稱作基函數。它的特點是：所有漢語能描述的思想都可以用從這個較小的詞匯本中挑出的一些詞匯（基函數）經過精心安排（加權相加）來描述，并且只有一種描述方式（數學語言：若基固定，則對應系數/坐標確定），因為我們已經去掉了所有冗余的、近似的詞匯，因此不存在一個事物在一個基下有兩種不同表示法存在。

　　總結：一套基中的元素很多，足夠描述事物，只要從中挑出一些你需要的，按某種方式組合在一起即可，一套基中的元素很少，以至于這種描述事物的方法是唯一的。

　　4. 不同基之間有什么聯系？

　　給定兩個不同的語言，給出兩個不同語言的小字典（兩組基），我們都可以分別用唯一的方式表達同一思想（函數、點），這兩種表示法之間可以相互轉換（數學語言：坐標變換）。“I love you”和“我愛你”可以相互轉化。

　　總結：給定一個基，我們就可以用這組基表達事物，也可以用它來翻譯用其他基描述的事物，不同基下的表示可以相互轉換。

　　5. 什么是傅里葉變換？

　　大家還記得三角函數sin和cos嗎，就是那種波浪形狀的函數，一個波浪的的寬度可以是不同的，既可以像跳大繩一樣寬，也可以像電爐絲一樣窄（數學語言：頻率不同）。把這些三角函數放到一起組成一個字典，就恰好是連續函數的一組基：任何一個連續函數，都可以唯一表示成一群三角函數相疊加。然而每個三角函數的分量有輕有重，相加的時候有的要拉高點，有的要壓低點，有的干脆不用（數學語言：加權系數不同）。到底是哪些三角函數呢，各個三角函數的分量如何呢？找到它們的過程，被稱為傅里葉變換。

　　舉幾個例子：

　　下面兩個圖，左上角是某個函數（信號）的樣子，它等于1000個震蕩的三角函數相加，中間一列從下往上是這1000個三角函數中第0、1、2、3個，以及中間6、30、160、800個相加的樣子，注意好幾個三角函數加在一起就不再像是三角函數了。右邊一列從下往上是把這些三角函數疊加在一起，1000個加在一起和原函數完全一樣，但是前40個三角函數函數加在一起和原函數已經很相似了。

　　從這幾個例子可以看出，把一系列震蕩的三角函數按照傅里葉系數（權值）進行縮放再加起來，大概40個三角函數加到一起，就和原來的函數長得差不多了，無論原來的那個函數長的有多么奇特。因此我們說：螞蟻也能撼大樹，三角函數多了加到一起，多奇怪的連續函數我長的都能和你是一個樣。

　　總結：給你一個函數，找到它的傅里葉變換，就是找到一堆系數，每一個系數對應一個不同頻率的三角函數，這些三角函數分別按各自的系數改變振幅（數學語言：確定坐標），然后疊加在一起，恰好就與原來那個函數相等。

　　因此，四個處長是一組基，能維持一個單位的運轉，處理各種問題；

　　一套簡化的漢語詞典是一組基，什么樣的情感它都能找到唯一的表達語句；

　　一堆三角函數是一組基，什么樣的連續函數都可以用一大堆三角函數疊加獲得，找到這種表示的過程叫做傅里葉變換。