6. 傅里葉變換有什么用？

　　擺弄一系列三角函數(shù)，讓這個(gè)多點(diǎn)那個(gè)少點(diǎn)，有一個(gè)酷炫的名字，叫“頻域處理”，

　　你去了美國(guó)，不知道白宮怎么走，你問翻譯：白宮怎么走？

　　翻譯跑到街上問美國(guó)人：Where is the White House？ 這叫傅里葉變換。

　　美國(guó)路人說：“go straight and turn right”。這叫頻域處理。

　　翻譯聽完給你說：直走，右拐就到了。這叫逆傅里葉變換。

　　總結(jié)：傅里葉變換的作用，就是把一個(gè)函數(shù)或者信號(hào)在三角函數(shù)基下轉(zhuǎn)化為一堆系數(shù)，擺弄這些系數(shù)、實(shí)現(xiàn)一定功能有時(shí)比直接擺弄原信號(hào)方便，最后再做個(gè)逆傅里葉變換，信號(hào)就得到了某種處理。

　　7. 傅里葉變換與壓縮、簡(jiǎn)化表示

　　從第5小節(jié)我們知道了基變換的一個(gè)用處：壓縮信號(hào)。原始信號(hào)需要用1000個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，但是其實(shí)只需要40個(gè)三角函數(shù)系數(shù)就可以表示出大概。大家天天都會(huì)遇到的JPG圖片就是干這個(gè)事的，一張800*600的彩色照片，如果保存成非壓縮的BMP圖像格式，需要占據(jù)1.4M存儲(chǔ)空間，如果保存成JPG格式，大概50K就夠了。JPG能壓縮得這么厲害，訣竅就在于它用了一組特別的基（小波基），使用特別少的基函數(shù)就可以把原始圖像表示得八九不離十，在這里頻域處理就是把絕大多數(shù)基函數(shù)前面的系數(shù)直接置0。為什么能這么干呢？因?yàn)樾〔ɑ泻軓?qiáng)的表達(dá)能力，我們總能選取極少的幾個(gè)小波基函數(shù)就能拼出任意一個(gè)給定的圖像的大概，然后即使拋棄剩下那些大量邊角料，也不太會(huì)對(duì)視覺效果造成什么影響。

　　說到這里你肯定一頭霧水，咱們?cè)賮?lái)做個(gè)類比來(lái)說說基的壓縮能力。想象這樣一個(gè)故事：女主角出生在孤兒院，和男主角相遇但是被拋棄，生下一個(gè)女兒，她后來(lái)做了個(gè)變性手術(shù)，穿越回到過去和還是女兒身的自己啪啪啪，帶著女兒再次穿越到自己被收養(yǎng)時(shí)的孤兒院把嬰兒拋棄在那。

　　如果你缺乏語(yǔ)言能力，比如你是一條狗，你怎樣讓另一條狗理解孤兒院、男、女、啪啪啪、拋棄、愛情這些真實(shí)世界中極度復(fù)雜的概念？你能做的最好的重述就是雇一男一女和一個(gè)時(shí)光機(jī)，把故事演一遍，對(duì)方還不一定能懂。語(yǔ)言能夠在短短的一段話里就描述出這一個(gè)復(fù)雜的故事，因?yàn)樗鼟仐壛舜罅考?xì)節(jié)，只保留最重要的信息：如果說真實(shí)世界每一個(gè)對(duì)象（物體、故事、情感）是一個(gè)函數(shù)，那么語(yǔ)言就是一組新的基，在這組基下，每一個(gè)基函數(shù)（詞匯）都具有高強(qiáng)的描述能力，復(fù)雜的對(duì)象可以用聊聊幾筆進(jìn)行描述、壓縮、傳遞，讓人類能夠高效地交流，快速地學(xué)習(xí)。

　　一個(gè)海岸有多少粒沙子？多少滴海水？一幅800*600像素的圖像就能捕獲你在海邊嬉戲的靚影，只用了48萬(wàn)個(gè)基函數(shù)，如果你用JPG格式存儲(chǔ)，調(diào)動(dòng)的基函數(shù)還會(huì)更少。普通非壓縮位圖數(shù)字圖像的基函數(shù)長(zhǎng)的都一樣：在一顆像素是白色（1），在其他所有像素都是黑色（0）——一個(gè)基就是一根孤零零的矩形棍子，其對(duì)應(yīng)的系數(shù)就是對(duì)應(yīng)像素的顏色值，真彩色的系數(shù)有約1600萬(wàn)種。

　　傅里葉變換和這幅圖中的變換非常類似，只不過基函數(shù)不是一顆像素，而是震蕩的三角函數(shù)。所有三角函數(shù)Asin（ax+b）也可以由一個(gè)三角函數(shù) sin（x）通過改變頻率a，相位b和振幅A來(lái)獲得，這種情況很有意思：一組基中所有的基函數(shù)都是由一個(gè)基函數(shù)進(jìn)過簡(jiǎn)單地平移、拉伸或改變振幅獲得。它的實(shí)質(zhì)是另一種意義上的壓縮：我們用一個(gè)基函數(shù)（數(shù)學(xué)語(yǔ)言：母函數(shù)）通過簡(jiǎn)單形變來(lái)生成其他基函數(shù)，再用它們一起表示更復(fù)雜的元素。我們不需要拉來(lái)一頭牛一只羊來(lái)表示這里有一頭牛一只羊，我們只需要用許多個(gè)基本元素，每一個(gè)都差不多，就能近似表示復(fù)雜的場(chǎng)景。這一思想的一個(gè)有趣的應(yīng)用是游戲 Minecraft，在這里基函數(shù)是一些等大立方體塊，把它們拼在一起則組成了復(fù)雜世界的近似。

　　這個(gè)圖和上面用40個(gè)三角函數(shù)近似一維信號(hào)、一堆像素近似二維物體是完全類似的，這里是用立方體近似三維世界。同樣是對(duì)真實(shí)世界的近似描述，我們可以用一堆抽象詞匯、用像素、用立方體塊，也可以用三角函數(shù)形狀的“塊”，使用彼此近似但略微不同的基函數(shù)，我們就可以對(duì)無(wú)比復(fù)雜的真實(shí)世界的對(duì)象進(jìn)行壓縮、近似。三角函數(shù)基唯一的奇怪之處在于它是震蕩的，看著不萌。

　　壓縮的缺點(diǎn)是無(wú)法反向恢復(fù)，可以從一幅圖像變換到另一幅，但是不能從一幅圖像恢復(fù)真實(shí)世界。但是沒人想捧著真實(shí)世界，人們需要的恰恰是對(duì)真實(shí)世界的高度凝練地表示。